Définition Homogène de l’Équation Différentielle
Un premier ordre de l’équation différentielle
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est appelée équation homogène, si le côté droit répond à la condition
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pour tous les \(t.,\) En d’autres termes, le côté droit est un ensemble homogène de la fonction (à l’égard de variables \(x\) et \(y\)) de l’ordre zéro:
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Une équation différentielle homogène peut aussi être écrite sous la forme
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ou sinon, dans la différentielle de la forme:
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où \(P\left( {x,y} \right)\) et \(Q\left( {x,y} \right)\) sont homogènes fonctions du même degré.,
définition de la fonction homogène
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résolution d’équations différentielles homogènes
une équation homogène peut être résolue par substitution \(y = ux,\) qui conduit à une équation différentielle séparable.
Une équation différentielle de type
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est convertie en une séparables de l’équation par le déplacement de l’origine du système de coordonnées du point d’intersection des lignes droites., Si ces droites sont parallèles, l’équation différentielle est transformé en séparables équation en utilisant le changement de variable:
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les Problèmes Résolus
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Exemple 1.
résoudre l’équation différentielle \(\left ({2x + y} \ right) dx\) \ (- xdy = 0.\)
la Solution.
supposons que \(y = ux,\) où \(u\) est une nouvelle fonction dépendant de \(X.,\) Alors
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en Substituant dans l’équation différentielle, on obtient
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Donc,
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en Divisant les deux côtés par \(x\), on obtient:
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Intégrer la dernière expression d’obtenir:
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où \(C\) est une constante d’intégration.
en Revenant à l’ancien variable \(y\) on peut écrire:
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Ainsi, l’équation a deux solutions:
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