Cesàro et HölderEdit
Données sur l’ (H, 2) la somme de 1⁄4
1, -1, 2, -2, 3, -3, …,
et la moyenne arithmétique de ces sommes partielles sont:
1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, ….
Cette suite de moyennes ne converge pas, donc 1 − 2 + 3 − 4 + … n’est pas Cesàro summable.
Il existe deux généralisations bien connues de la sommation de Cesàro: la plus simple sur le plan conceptuel est la séquence des méthodes (H, n) pour les nombres naturels N., La somme (H, 1) est la somme de Cesàro, et les méthodes supérieures répètent le calcul des moyennes. Ci-dessus, les moyennes paires convergent vers 1⁄2, tandis que les moyennes impaires sont toutes égales à 0, de sorte que les moyennes des moyennes convergent vers la moyenne de 0 et 1⁄2, à savoir 1⁄4. Donc 1 − 2 + 3 − 4 + … est (H, 2) sommable à 1⁄4.
l’autre généralisation communément formulée de la sommation de Cesàro est la séquence des méthodes (C, n). Il a été prouvé que la sommation (C, n) et la sommation (H, n) donnent toujours les mêmes résultats, mais ils ont des antécédents historiques différents., En 1887, Cesàro est venu près d’Énoncer la définition de (C, n) sommation, mais il n’a donné que quelques exemples. En particulier, il a résumé 1 − 2 + 3 − 4 + …, à 1⁄4 par une méthode qui peut être reformulée comme (C, n) mais qui n’était pas justifiée en tant que telle à l’époque. Il a formellement défini les méthodes (C, n) en 1890 afin d’énoncer son théorème selon lequel le produit de Cauchy d’une série (C, n)-sommable et d’une série (C, m)-sommable est (C, M + n + 1)-sommable.
Abel summationEdit
Certains partiels de 1 − 2x + 3×2 + …,; 1/(1 + x)2; et les limites à 1
Dans un rapport de 1749, Leonhard Euler admet que la série diverge mais se prépare à la résumer quand même:
… quand il est dit que la somme de cette série 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 etc. est 1⁄4, cela doit paraître paradoxal. Car en ajoutant 100 termes de cette série, on obtient -50, cependant, la somme de 101 Termes donne +51, ce qui est assez différent de 1⁄4 et devient encore plus grand quand on augmente le nombre de termes., Mais j’ai déjà remarqué à un moment précédent, qu’il est nécessaire de donner au mot somme un sens plus étendu …
Euler proposé une généralisation du mot « somme » à plusieurs reprises. Dans le cas de 1 − 2 + 3 − 4 + …, ses idées sont similaires à ce qui est maintenant connu sous le nom de sommation Abel:
… il n’est plus douteux que la somme de cette série 1 − 2 + 3 − 4 + 5 etc. est 1⁄4; puisqu’il résulte de l’expansion de la Formule 1⁄(1+1)2, dont la valeur est incontestablement 1⁄4., L’idée devient plus claire en considérant la série générale 1 – 2x + 3×2 − 4×3 + 5×4 − 6×5 + &c. Cela se produit en développant l’expression 1⁄(1+x)2, à laquelle cette série est en effet égale après avoir défini x = 1.
Il y a plusieurs façons de voir que, au moins pour la valeur absolue |x| < 1, Euler est droit,
1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 . {\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.,}
on peut prendre L’expansion de Taylor du côté droit, ou appliquer le processus formel de division longue pour les polynômes. En partant du côté gauche, on peut suivre les heuristiques générales ci-dessus et essayer de multiplier par (1 + x) Deux fois ou de quadrater la série géométrique 1 − x + x2 − …. Euler semble également suggérer de différencier cette dernière série terme par terme.
dans la vue moderne, la série 1 − 2x + 3×2 − 4×3 + … ne définit pas une fonction à x = 1, de sorte que la valeur ne peut pas simplement être substituée dans l’expression résultante., Puisque la fonction est définie pour tout |x| < 1, on peut encore prendre la limite quand x tend vers 1, et c’est la définition de l’Abel somme:
lim x → 1 − ∑ n = 1 ∞ n ( − x ) n − 1 = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}
Euler et BorelEdit
Euler somme de 1⁄2 − 1⁄4 de., Les valeurs positives sont affichées en blanc, les valeurs négatives en brun et les changements et annulations en vert.
Euler a appliqué une autre technique à la série: la transformation D’Euler, une de ses propres inventions. Pour calculer la transformée D’Euler, on commence par la séquence de termes positifs qui constitue la série alternée-dans ce cas 1, 2, 3, 4, …. Le premier élément de cette séquence est étiqueté a0.
1 2 0 1 4 Δ 0 + 1 8 Δ 2 0 − ⋯ = 1 2 − 1 4 ., {\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}
Dans la terminologie moderne, on dit que 1 − 2 + 3 − 4 + … Euler est sommable à 1⁄4.
la sommabilité D’Euler implique également un autre type de sommabilité. Représentant 1 − 2 + 3 − 4 + … comme
∑ k = 0 ∞ k = ∑ k = 0 ∞ (-1 ) k ( k + 1 ) , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}
on a la liés partout-série convergente
a ( x ) = ∑ k = 0 ∞ (-1 ) k ( k + 1 ) x k + 1 ( k + 1 ) !, = x ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k k ! = e-x x . {\displaystyle(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k+1}}{(k+1)!}}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!}}=e^{- x} X.}
la somme de Borel de 1 − 2 + 3 − 4 + … est donc
∫ 0 ∞ e − x a ( x ) d x = ∫ 0 ∞ e − 2 x x d x = − ∂ ∂ β | 2 ∫ 0 ∞ e − β x d x = − ∂ ∂ β | 2 β − 1 = 1 4 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x} (x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}x\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\beta ^{-1}={\frac {1}{4}}.,}
séparation des scalesmodifier
Saichev et Woyczyński arrivent à 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 en appliquant seulement deux principes physiques: la relaxation infinitésimale et la séparation des échelles. Pour être précis, ces principes les conduisent à définir une large famille de « méthodes de somme φ », qui additionnent toutes les séries à 1⁄4:
Lim δ → 0 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) M ( M + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 . {\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}
ce résultat généralise la sommation D’Abel, qui est récupérée en laissant φ (x) = exp (−x)., L’énoncé général peut être prouvé en associant les termes de la série sur m et en convertissant l’expression en une intégrale de Riemann. Pour la dernière étape, l’épreuve correspondante pour 1 − 1 + 1 − 1 + … applique le théorème de la valeur moyenne, mais ici on a besoin de la forme de Lagrange plus forte du théorème de Taylor.
