Congruence (geometry)

deux triangles sont congruents si leurs côtés correspondants sont égaux en longueur, et leurs angles correspondants sont égaux en mesure.

Si le triangle ABC est congru au triangle Def, la relation peut s’écrire mathématiquement comme suit:

△ A B C D D E F. {\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} .}

dans de nombreux cas, il suffit d’établir l’égalité de trois parties correspondantes et d’utiliser l’un des résultats suivants pour déduire la congruence des deux triangles.,

détermination de la congruence

des preuves suffisantes de la congruence entre deux triangles dans L’espace euclidien peuvent être montrées à travers les comparaisons suivantes:

• SAS (Side-Angle-Side): si deux paires de côtés de deux triangles sont égales en longueur et que les angles inclus sont égaux en mesure, alors les triangles sont congruents.
• SSS (Side-Side-Side): si trois paires de côtés de deux triangles sont de longueur égale, alors les triangles sont congruents.,
• ASA (Angle-Side-Angle): si deux paires d’angles de deux triangles sont égales en mesure et que les côtés inclus sont égaux en longueur, alors les triangles sont congruents.

le postulat ASA a été contribué par Thalès de Milet (Grec). Dans la plupart des systèmes d’axiomes, les trois critères – SAS, SSS et ASA – sont établis en tant que théorèmes. Dans le groupe D’étude des mathématiques scolaires, le système SAS est considéré comme l’un (#15) des 22 postulats.,

• AAS (Angle-Angle-Side): si deux paires d’angles de deux triangles sont égales en mesure, et une paire de côtés non inclus correspondants sont égaux en longueur, alors les triangles sont congruents. AAS est équivalent à une condition ASA, par le fait que si deux angles quelconques sont donnés, le troisième angle l’est aussi, puisque leur somme devrait être de 180°. ASA et AAS sont parfois combinés en une seule condition, AAcorrS-deux angles quelconques et un côté correspondant.,
• RHS (Right-angle-Hypotenuse-Side), également connu sous le nom de HL (Hypotenuse-Leg): si deux triangles rectangles ont leurs hypoténuses égales en longueur, et une paire de côtés plus courts sont égaux en longueur, alors les triangles sont congruents.

Side-side-angle

la condition SSA (side-side-angle) qui spécifie deux côtés et un angle non inclus (également appelé ASS, ou angle-side-side) ne prouve pas à elle seule la congruence., Afin de montrer la congruence, des informations supplémentaires sont nécessaires telles que la mesure des angles correspondants et, dans certains cas, les longueurs des deux paires de côtés correspondants. Il y a quelques cas possibles:

Si deux triangles satisfont à la condition SSA et que la longueur du côté opposé à l’angle est supérieure ou égale à la longueur du côté adjacent (SSA, ou long side-short side-angle), alors les deux triangles sont congruents. Le côté opposé est parfois plus long lorsque les angles correspondants sont aigus, mais il est toujours plus long lorsque les angles correspondants sont droits ou obtus., Lorsque l’angle est un angle droit, également appelé postulat D’hypoténuse-jambe (HL) ou condition D’hypoténuse-côté droit (RHS), le troisième côté peut être calculé en utilisant le théorème de Pythagore permettant ainsi d’appliquer le postulat SSS.

Si deux triangles satisfont à la condition SSA et que les angles correspondants sont aigus et que la longueur du côté opposé à l’angle est égale à la longueur du côté adjacent multipliée par le sinus de l’angle, alors les deux triangles sont congruents.,

Si deux triangles satisfont à la condition SSA et que les angles correspondants sont aigus et que la longueur du côté opposé à l’angle est supérieure à la longueur du côté adjacent multipliée par le sinus de l’angle (mais inférieure à la longueur du côté adjacent), alors les deux triangles ne peuvent pas être montrés comme étant congrus. C’est le cas ambigu et deux triangles différents peuvent être formés à partir de l’information donnée, mais d’autres informations les distinguant peuvent conduire à une preuve de congruence.,

Angle-angle-angle

en géométrie euclidienne, AAA (Angle-Angle-Angle) (ou simplement AA, car en géométrie euclidienne les angles d’un triangle ajoutent jusqu’à 180°) ne fournit pas d’informations concernant la taille des deux triangles et ne prouve donc que la similitude et non la congruence dans L’espace euclidien.

cependant, en géométrie sphérique et en géométrie hyperbolique (où la somme des angles d’un triangle varie avec la taille) AAA est suffisante pour la congruence sur une courbure de surface donnée.,

CPCTC

cet acronyme signifie les parties correspondantes des Triangles congruents sont congruents une version abrégée de la définition des triangles congruents., , {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF}

correspondant à des paires d’angles aux sommets A et D, B et E; et C) et F), et correspondant aux paires de côtés AB et DE; BC et EF; et CA et FD, puis les affirmations suivantes sont vraies:

Une B ≅ D E {\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}} B C ≅ E F {\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}} A C ≅ D F {\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}} ∠ B A C ≅ ∠ E D F {\displaystyle \angle BAC\cong \angle EDF} ∠ A B C ≅ ∠ D E F {\displaystyle \angle ABC\cong \angle DEF} ∠ B C ≅ ∠ E F D ., {\displaystyle \ angle BCA \cong \ angle EFD.}

l’énoncé est souvent utilisé comme justification dans les preuves de géométrie élémentaire lorsqu’une conclusion de la congruence de parties de deux triangles est nécessaire après que la congruence des triangles a été établie. Par exemple, s’il a été démontré que deux triangles sont congruents par les critères SSS et qu’une déclaration selon laquelle les angles correspondants sont congruents est nécessaire dans une preuve, alors CPCTC peut être utilisé comme justification de cette déclaration.,

un théorème connexe est CPCFC, dans lequel « triangles » est remplacé par « figures » de sorte que le théorème s’applique à toute paire de polygones ou polyèdres qui sont congruents.