Distribution de Weibull et de l’Analyse de Weibull

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Contenu:

1. qu’est-Ce que la distribution de Weibull?
2. Weibull Pdf
3. La distribution de Weibull famille
4. Analyse de Weibull

qu’est-Ce que la Distribution de Weibull?,

la distribution de Weibull est une distribution de probabilité continue nommée d’après le mathématicien Suédois Waloddi Weibull. Il a initialement proposé la distribution comme modèle de résistance à la rupture des matériaux, mais a reconnu le potentiel de la distribution dans son article de 1951 A Statistical Distribution Function of Wide Applicability. Aujourd’hui, il est couramment utilisé pour évaluer la fiabilité des produits, analyser les données de durée de vie et les temps de défaillance du modèle. Le Weibull peut également s’adapter à un large éventail de données provenant de nombreux autres domaines, notamment la biologie, l’économie, les sciences de l’ingénieur et l’hydrologie (Rinne, 2008).,

bien qu’il soit extrêmement utile dans la plupart des cas, le Weibull n’est pas un modèle approprié pour toutes les situations. Par exemple, les réactions chimiques et les défaillances de corrosion sont généralement modélisées avec la distribution lognormale.

PDF de Distribution de Weibull

deux versions de la fonction de densité de probabilité de Weibull (pdf) sont couramment utilisées: le pdf à deux paramètres et le pdf à trois paramètres. Différents auteurs utilisent une notation différente, ce qui rend la notation Un peu déroutante si vous regardez différents textes., Par exemple, le Engineering Statistics Handbook utilise gamma(γ) pour représenter le paramètre de forme, tandis que d’autres auteurs (par exemple Fritz Scholz, écrivant pour Boeing) utilisent beta (β). J’ai inclus les différentes notations que j’ai trouvées dans les informations pdf ci-dessous. Si vous en trouvez plus, n’hésitez pas à me le faire savoir en laissant un commentaire sur notre page Facebook.

pour plus de clarté, je reste avec la même notation pour toutes les formules: γ pour le paramètre shape, x comme variable et μ pour le paramètre location.,

Weibull à trois paramètres

la formule de la fonction de densité de probabilité de la distribution générale de Weibull à trois paramètres est:

où:

• γ est le paramètre de forme (également connu sous le nom de pente de Weibull ou le paramètre de seuil). Remarque: certains auteurs utilisent β, m ou K.
• α est le paramètre d’échelle, également appelé paramètre de vie caractéristique. Remarque: certains auteurs utilisent c, ν OU η à la place. J’ai trouvé un seul texte (Glantz & Kissell, 2013) en utilisant γ.,
• μ est le paramètre d’emplacement, également appelé paramètre de temps d’attente ou parfois paramètre de décalage. Remarque: μ le temps d’échec, n’est pas inclus dans la version à deux paramètres.

lorsque μ = 0 et α = 1, la formule du pdf se réduit à:

qui est la distribution de Weibull standard.,

Weibull à deux paramètres

la formule est pratiquement identique aux trois paramètres Weibull, sauf que μ n’est pas inclus:

Les deux paramètres Weibull sont souvent utilisés dans l’analyse des défaillances, car aucune défaillance ne peut se produire avant l’heure zéro. Si vous connaissez μ, l’heure à laquelle l’échec se produit, vous pouvez le soustraire de x (c’est-à-dire le temps t). Par conséquent, lorsque vous passez de la version à deux paramètres à la version à trois paramètres, il vous suffit de remplacer chaque instance de x par (x-μ).,

Gamma et taux d’échec

la valeur du paramètre de forme (γ) détermine les taux d’échec:

• Si gamma est inférieur à 1, le taux d’échec diminue avec le temps (c’est-à-dire que le processus a un grand nombre d’Échecs infantiles ou précoces et moins d’Échecs au fil du temps).
• Pour γ = 1: le taux d’échec est constant, ce qui signifie qu’il indique une durée de vie utile ou des Échecs Aléatoires.
• Si γ> 1: le taux de défaillance augmente avec le temps (c’est-à-dire que la distribution modélise les défaillances d’usure, qui ont tendance à se produire après un certain temps).,

EVD type III

sous certains paramètres spécifiques, le Wiebull est un exemple de distribution de valeurs extrêmes (EVD) et est parfois appelé EVD type III. les valeurs extrêmes sont des points de données qui sont soit très élevés, soit très faibles, par rapport aux autres points de l’ensemble; ces valeurs se trouvent dans les queues Les EVD sont les distributions limitatives de ces valeurs. Les deux autres EVD sont la distribution de Gumbel (EVD de type I) et la distribution de Fréchet (EVD de Type II).,

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la famille Weibull

la distribution Weibull est une famille de distributions qui peut prendre plusieurs formes, selon les paramètres que vous choisissez.

Les distributions de Weibull ci-dessus comprennent deux distributions exponentielles (ligne supérieure), une distribution asymétrique à droite (en bas à gauche) et une distribution symétrique (en bas à droite). La distribution exponentielle est un cas particulier de la distribution de Weibull, qui se produit lorsque le paramètre de forme de Weibull est égal à 1.,

le Changement de la distribution de Weibull de paramètres modifie également la forme de la distribution.

changer α, le paramètre d’échelle, ne change pas le type de forme, mais étire la forme existante. Si les deux autres paramètres restent les mêmes:

• L’augmentation de α entraîne l’étirement du graphique vers la droite. La hauteur va diminuer.
• la diminution de α entraîne un rétrécissement du graphique vers la gauche (vers zéro). La hauteur va augmenter.,

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analyse de Weibull

l’analyse de Weibull consiste à utiliser la distribution de Weibull (et parfois, le lognormal) pour étudier l’analyse des données de vie — l’analyse du temps jusqu’à l’échec. Par exemple, L’analyse Weibull peut être utilisée pour étudier:

• La durée de vie des implants médicaux et dentaires,
• Les composants produits en usine (comme les roulements, les condensateurs ou la dialectique),
• l’analyse de la garantie,
• Les services publics,
• D’autres domaines où le délai de défaillance est important.,

l’analyse ne se limite pas à la production; elle s’applique également à la phase de conception et au temps de service.

Dans le passé, les techniques pour effectuer l’analyse de Weibull à la main ont été fastidieuses et longues. Le processus a maintenant été remplacé par des logiciels statistiques et est aujourd’hui la technique la plus largement utilisée pour analyser les données sur les durées de vie dans le monde.

Les principaux avantages de L’analyse Weibull sont qu’elle peut être utilisée pour analyser les durées de vie avec de très petits échantillons., Il produit également une intrigue facile à comprendre.

l’axe horizontal sur un tracé Weibull indique les durées de vie ou les paramètres de vieillissement tels que le kilométrage, les temps de fonctionnement ou les cycles d’utilisation. L’axe vertical indique le pourcentage cumulatif (total additif) de défaillances.

L’analyse comprend:

• de Prévision lorsque de pièces de rechange seront nécessaires.
• mise en œuvre d’un plan de mesures correctives.
• planification de l’entretien et des stratégies de remplacement rentables.
• tracer et interpréter les données.
• la Prédiction de défaillances.,

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