La Diffraction

Les effets de la diffraction sont souvent observés dans la vie quotidienne., Les exemples les plus frappants de diffraction sont ceux qui impliquent la lumière; par exemple, les pistes étroitement espacées sur un CD ou un DVD agissent comme un réseau de diffraction pour former le motif arc-en-ciel familier vu en regardant un disque. Ce principe peut être étendu pour concevoir un réseau avec une structure telle qu’il produira n’importe quel motif de diffraction souhaité; l’hologramme sur une carte de crédit en est un exemple. La Diffraction dans l’atmosphère par de petites particules peut rendre visible un anneau lumineux autour d’une source de lumière brillante comme le soleil ou la Lune., Une ombre d’un objet solide, utilisant la lumière d’une source compacte, montre de petites franges près de ses bords. Le motif de taches qui est observé lorsque la lumière laser tombe sur une surface optiquement rugueuse est également un phénomène de diffraction. Lorsque la viande de charcuterie semble irisée, c’est la diffraction des fibres de viande. Tous ces effets sont une conséquence du fait que la lumière se propage comme une onde.

la Diffraction peut se produire avec n’importe quel type de vague. Les vagues de l’océan diffractent autour des jetées et autres obstacles., Les ondes sonores peuvent diffracter autour des objets, c’est pourquoi on peut toujours entendre quelqu’un appeler même en se cachant derrière un arbre.La Diffraction peut également être une préoccupation dans certaines applications techniques; elle fixe une limite fondamentale à la résolution d’une caméra, d’un télescope ou d’un microscope.

d’Autres exemples de diffraction sont examinés ci-dessous.

diffractionemodifier

une longue fente de largeur infinitésimale éclairée par la lumière diffracte la lumière en une série d’ondes circulaires et le front d’onde qui émerge de la fente est une onde cylindrique d’intensité uniforme, conformément au principe de Huygens–Fresnel.

Une fente plus large qu’une longueur d’onde produit des effets d’interférence dans l’espace en aval de la fente., Ceux-ci peuvent être expliqués en supposant que la fente se comporte comme si elle avait un grand nombre de sources ponctuelles espacées uniformément sur toute la largeur de la fente. L’analyse de ce système est simplifié si l’on considère la lumière d’une seule longueur d’onde. Si la lumière incidente est cohérente, ces sources ont toutes la même phase. La lumière incidente en un point donné de l’espace en aval de la fente est constituée de contributions provenant de chacune de ces sources ponctuelles et si les phases relatives de ces contributions varient de 2π ou plus, on peut s’attendre à trouver des minima et des maxima dans la lumière diffractée., De telles différences de phase sont causées par des différences dans les longueurs de trajet sur lesquelles les rayons contributeurs atteignent le point de la fente.

Nous pouvons trouver l’angle sous lequel un premier minimum est obtenu dans la lumière diffractée par le raisonnement suivant. La lumière provenant d’une source située au bord supérieur de la fente interfère de manière destructive avec une source située au milieu de la fente, lorsque la différence de trajet entre elles est égale à λ/2. De même, la source située juste en dessous du sommet de la fente interférera de manière destructive avec la source située juste en dessous du milieu de la fente au même angle., Nous pouvons poursuivre ce raisonnement sur toute la hauteur de la fente pour conclure que la condition d’interférence destructive pour toute la fente est la même que la condition d’interférence destructive entre deux fentes étroites distantes de la moitié de la largeur de la fente., La différence de chemin est approximativement d sin ⁡ (θ) 2 {\displaystyle {\frac {d\sin(\theta)} {2}}} de sorte que l’intensité minimale se produit à un angle θmin donné par

D sin θ θ min = λ {\displaystyle d\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda }

où

un argument similaire peut être utilisé pour montrer que si nous imaginons que la fente soit divisée en quatre, six, huit parties, etc., les minima sont obtenus aux angles θn donnés par

D sin θ θ N = N λ {\displaystyle d\,\sin \theta _{n}=n\lambda }

où

• n est un entier autre que zéro.,

Il n’existe pas d’argument aussi simple pour nous permettre de trouver les maxima du modèle de diffraction. Le profil d’intensité peut être calculé en utilisant l’équation de diffraction de Fraunhofer comme

I ( θ ) = i 0 sinc 2 sin ( D π λ sin θ θ ) {\displaystyle I(\theta )=i_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right)}

où

Cette analyse s’applique uniquement au champ lointain (Fraunhofer diffraction), c’est-à-dire à une distance beaucoup plus grande que la largeur de la fente.,

D’après le profil d’intensité ci-dessus, si d λ λ {\displaystyle d\ll \lambda } , l’intensité aura peu de dépendance sur θ {\displaystyle \theta } , donc le front d’onde sortant de la fente ressemblerait à une onde cylindrique à symétrie azimutale; si d λ λ {\displaystyle d\gg \lambda } , seulement θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} aurait une intensité appréciable, donc le front de l’optique géométrique.,

I ( θ ) = I 0 sinc 2 ⁡ {\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left}

le choix de La plus/moins le signe dépend de la définition de l’angle d’incidence θ i {\displaystyle \theta _{\text{i}}} .

Diffraction gratingEdit

Un réseau de diffraction est un composant optique avec un motif régulier. La forme de la lumière diffractée par un réseau dépend de la structure des éléments et du nombre d’éléments présents, mais tous les réseaux ont des maxima d’intensité aux angles θm qui sont donnés par l’équation de réseau

d (sin θ θ m ± sin i θ i ) = m λ ., {\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}\pm \sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda .}

où

• θi est l’angle sous lequel la lumière est incidente,
• d est la séparation des éléments de caillebotis, et
• m est un entier qui peut être positif ou négatif.

la lumière diffractée par un réseau est trouvée en additionnant la lumière diffractée de chacun des éléments, et est essentiellement une convolution de modèles de diffraction et d’interférence.,

la figure montre la lumière diffractée par des réseaux à 2 et 5 éléments où les espacements de réseau sont les mêmes; on peut voir que les maxima sont dans la même position, mais les structures détaillées des intensités sont différentes.

Circulaire apertureEdit

Le champ lointain de la diffraction d’une onde plane incidente sur une ouverture circulaire est souvent désigné comme le Disque d’Airy., La variation d’intensité avec l’angle est donnée par

I (θ) = i 0 ( 2 J 1 (K A sin θ θ ) k a sin θ θ ) 2 {\displaystyle I (\theta )=i_{0}\left ({\frac {2j_{1} (ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}},

où a est le rayon de l’ouverture circulaire, k est égal à 2π / λ et. Plus l’ouverture est petite, plus la taille du point est grande à une distance donnée et plus la divergence des faisceaux diffractés est grande.,

ouverture Généraledit

L’onde qui émerge d’une source ponctuelle a une amplitude ψ {\displaystyle \psi } à l’emplacement r qui est donné par la solution de l’équation d’onde du domaine fréquentiel pour une source ponctuelle (L’équation de Helmholtz),

∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r})} r ) {\displaystyle \Delta (\mathbf {R} )} est la fonction delta tridimensionnelle. La fonction delta n’a qu’une dépendance radiale, donc l’opérateur de Laplace (alias.,le système se simplifie en (voir del en coordonnées cylindriques et sphériques) ∇ 2 ψ = 1 r 2 2 r r 2 ( R ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )}

par substitution directe, on peut facilement montrer que la solution à cette équation est la fonction du vert scalaire qui, dans le système de coordonnées sphériques (et en − I ω T {\displaystyle E^{-I\Omega T}} ) est:

ψ ( R ) = e i k r 4 π r {\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}}

Cette solution suppose que la source de la fonction delta est située à l’origine.,athbf {r} ‘=x’\mathbf {\hat {x}} +y’\mathbf {\hat {y}} }

Dans le champ lointain, où les rayons parallèles approximation peut être utilisée, la fonction de Green,

ψ ( r | r ‘) = e e k | r − r ‘| 4, π | r − r ‘ | {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ‘)={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} ‘|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} ‘|}}}

simplifie à l’

ψ ( r | r ‘) = e i k r 4 π r e − i k ( r ‘ ⋅ r ^ ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ‘)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{ik(\mathbf {r} ‘\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}

comme on peut le voir dans la figure ci-contre (cliquer pour agrandir)., {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }

l’expression de l’institut Fraunhofer de la région de domaine à partir d’un plan de ouverture devient maintenant,

Ψ ( r ) ∝ e i k r 4 π r ∬ une p e r t u r e e i n c ( x ‘, y ‘) e − i k sin ⁡ θ ( cos ⁡ ϕ x ‘+ sin ⁡ ϕ y ) d x d y ‘ {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limites _{\mathrm {ouverture} }E_{\mathrm {inc} }(x’,y’)e^{ik\sin \theta (\cos \phi de x’+\sin \phi y’)}\,dx’\,dy’}

Location

k x = k sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle k_{x}=k\sin \theta \cos \phi \,\!,}

et

k y = k sin θ θ sin {{\displaystyle k_ {y}=k\sin \theta \sin \Phi \,\!}

le champ de Région de Fraunhofer de l’ouverture plane prend la forme d’une transformée de Fourier

Ψ ( r) e e i k r 4 π R a a p E R T u R e E I n C ( x ‘, y ‘) e − i ( k x x ‘+ K y y ‘) D x ‘d y’ , {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {Aperture} }e_{\mathrm {Inc} }(X’,Y’)E^{-I(k_{x}x’+K_{y}y’)}\,DX’\,DY’,}

dans la région champ lointain / Fraunhofer, cela devient la Transformée de Fourier spatiale de la distribution Aperture., Le principe de Huygens lorsqu’il est appliqué à une ouverture dit simplement que le motif de diffraction en champ lointain est la Transformée de Fourier spatiale de la forme de l’ouverture, et c’est un sous-produit direct de l’utilisation de l’approximation des rayons parallèles, qui est identique à faire une décomposition d’onde plane des champs du plan

Propagation d’un faisceau lasermodifier

la façon dont le profil du faisceau d’un faisceau laser change au fur et à mesure de sa propagation est déterminée par diffraction., Lorsque l’ensemble du faisceau émis a un front d’onde plan, spatialement cohérent, il se rapproche du profil du faisceau gaussien et a la divergence la plus faible pour un diamètre donné. Plus le faisceau de sortie est petit, plus il diverge rapidement. Il est possible de réduire la divergence d’un faisceau laser par la première expansion avec une lentille convexe, puis de collimation avec un deuxième lentille convexe dont le point focal est confondu avec celui de la première lentille. Le faisceau résultant a un diamètre plus grand, et donc une divergence plus faible., La Divergence d’un faisceau laser peut être réduite en dessous de la diffraction d’un faisceau gaussien ou même inversée à la convergence si l’indice de réfraction du milieu de propagation augmente avec l’intensité lumineuse. Cela peut entraîner un effet d’auto-focalisation.

lorsque le front d’onde du faisceau émis présente des perturbations, seule la longueur de cohérence transversale (où la perturbation du front d’onde est inférieure à 1/4 de la longueur d’onde) doit être considérée comme un diamètre de faisceau gaussien lors de la détermination de la divergence du faisceau laser., Si la longueur de cohérence transversale dans la direction verticale est plus élevée que dans l’horizontale, la divergence du faisceau laser sera plus faible dans la direction verticale que dans l’horizontale.

Diffraction-limited imagingEdit

La capacité d’un système d’imagerie pour résoudre le détail est finalement limité par la diffraction., En effet, une onde plane incidente sur une lentille circulaire ou un miroir est diffractée comme décrit ci-dessus. La lumière n’est pas focalisée sur un point mais forme un disque D’Airy ayant une tache centrale dans le plan focal dont le rayon (mesuré jusqu’au premier nul) est

Δ x = 1,22 λ n {\displaystyle \Delta x=1,22\lambda n}

Où λ est la longueur d’onde de la lumière et N est le nombre f (Longueur focale f divisée par le diamètre D’ouverture D) de l’optique d’imagerie; ceci est strictement exact pour N≫1 (cas paraxial). Dans l’espace objet, la résolution angulaire correspondante est

θ ≈ sin θ θ = 1.,22 λ D, {\displaystyle \theta \approx \sin\theta =1.22 {\frac {\lambda} {D}},\,}

où D est le diamètre de la pupille d’entrée de la lentille d’imagerie (par exemple, du miroir principal d’un télescope).

Deux sources ponctuelles produiront chacune un motif aérien – voir la photo d’une étoile binaire. Au fur et à mesure que les sources ponctuelles se rapprochent, les motifs commencent à se chevaucher et, finalement, ils fusionnent pour former un seul motif, auquel cas les deux sources ponctuelles ne peuvent pas être résolues dans l’image., Le critère de Rayleigh spécifie que deux sources ponctuelles sont considérées comme « résolues » si la séparation des deux images est au moins le rayon du disque D’Airy, c’est-à-dire si le premier minimum de l’une coïncide avec le maximum de l’autre.

ainsi, plus l’ouverture de l’objectif est grande par rapport à la longueur d’onde, plus la résolution d’un système d’imagerie est fine. C’est l’une des raisons pour lesquelles les télescopes astronomiques nécessitent de grands objectifs, et pourquoi les objectifs de microscope nécessitent une grande ouverture numérique (grand diamètre d’ouverture par rapport à la distance de travail) afin d’obtenir la résolution la plus élevée possible.,

Speckle patternsEdit

Le speckle pattern qui est vu lors de l’utilisation d’un pointeur laser est un autre phénomène de diffraction. C’est le résultat de la superposition de nombreuses ondes avec différentes phases, qui sont produites lorsqu’un faisceau laser éclaire une surface rugueuse. Ils s’additionnent pour donner une onde résultante dont l’amplitude, et donc l’intensité, varie aléatoirement.,

principe de Babinetmodifier

Le principe de Babinet est un théorème utile indiquant que le schéma de diffraction d’un corps opaque est identique à celui d’un trou de même taille et de même forme, mais avec des intensités différentes. Cela signifie que les conditions d’interférence d’une seule obstruction seraient les mêmes que celles d’une seule fente.