Note: la convention de sommation D’Einstein de sommation sur des indices répétés est utilisée ci-dessous.
matériaux Isotropiquesmodifier
Les matériaux isotropes sont caractérisés par des propriétés indépendantes de la direction dans l’espace. Les équations physiques impliquant des matériaux isotropes doivent donc être indépendantes du système de coordonnées choisi pour les représenter. Le tenseur de déformation est un tenseur symétrique., Étant donné que la trace d’un tenseur est indépendante de tout système de coordonnées, La décomposition sans Coordonnées la plus complète d’un tenseur symétrique est de le représenter comme la somme d’un tenseur constant et d’un tenseur symétrique sans trace. Ainsi, dans l’indice de notation:
ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}
où δij est le delta de Kronecker., En direct du tenseur de notation:
ε = vol ( ε ) + dev ( ε ) ; vol ( ε ) = 1 3 tr ( ε ) I ; dev ( ε ) = ε − vol ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
où I est le second ordre de l’identité du tenseur.,
le premier terme à droite est le tenseur constant, également connu sous le nom de tenseur de contrainte volumétrique, et le second terme est le tenseur symétrique sans trace, également connu sous le nom de tenseur de contrainte déviatoire ou tenseur de cisaillement.,>La forme la plus générale de la loi de Hooke pour les matériaux isotropes peut maintenant s’écrire comme une combinaison linéaire de ces deux tenseurs:
σ i j = 3 K ( 1 3 ε k k δ i j ) + 2 G ( ε i J − 1 3 ε k k δ i j ) ; σ = 3 K vol ( ε ) + 2 g devyle ( ε ) {\displaystyle \sigma _{IJ}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\Delta _{IJ}\right)+2G\left(\varepsilon _{IJ}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{KK}\Delta _{IJ}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\Sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
où k est le module de masse et G est le module de cisaillement.,
en Utilisant les relations entre les modules élastiques, ces équations peuvent également être exprimés de diverses autres façons.,sur la forme de la loi de Hooke pour les matériaux isotropes, exprimée en notation tensorielle directe, est
σ = λ tr ( ε ) I + 2 μ ε = c : ε ; c = λ I ⊗ I + 2 μ i {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {i}}}
Où λ = K − 2/3G = c1111 − 2c1212 et μ = g = c1212 sont les constantes de lamé, I est le tenseur d’identité de second rang, et partie symétrique du tenseur d’identité de quatrième rang.,j − σ i j ) ) ; e = 1 E ( σ − ν ( tr ( σ ) I − σ ) ) = 1 + E σ ν − ν E tr ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
C’est la forme dans laquelle la tension est exprimée en termes du tenseur des contraintes dans l’ingénierie.,1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligné}}}
où E est le module de Young et ν est le coefficient de Poisson., (Voir en 3-D d’élasticité).,div>0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
where γij = 2εij is the engineering shear strain.,>\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}
où I est le tenseur identité.,
contraintes Planesmodifier
dans des conditions de contraintes planes, S31 = S13 = S32 = S23 = S33 = 0.,n _{22}\right)\right)}
La relation inverse est généralement écrit dans la forme réduite
= 1 E {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
l’Avion strainEdit
Sous le plan des conditions de contrainte, ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0.,begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
Anisotrope materialsEdit
La symétrie du tenseur de contraintes de Cauchy (σij = σji) et la généralisation de Hooke lois (σij = cijklekl) implique que cijkl = cjikl., De même, la symétrie du tenseur de contrainte infinitésimal implique que cijkl = cijlk. Ces symétries sont appelées les symétries mineures du tenseur de raideur c. Cela réduit le nombre de constantes élastiques de 81 à 36.
Si en plus, depuis le déplacement de dégradé et la Cauchy de stress sont le travail conjugué, de la de la contrainte relation peut être dérivée à partir d’une souche de l’énergie de la fonctionnelle de densité (U), alors
σ i j = ∂ U ∂ ε i j ⟹ c i j k l = ∂ 2 U ∂ ε i j ∂ ε k l ., {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implique \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}
l’arbitraire de l’ordre de différenciation implique que cijkl = cklij. Ce sont les symétries majeures du tenseur de raideur. Cela réduit le nombre de constantes élastiques de 36 à 21. Les symétries majeure et mineure indiquent que le tenseur de raideur n’a que 21 composantes indépendantes.,
représentation matricielle (tenseur de raideur)modifier
Il est souvent utile d’exprimer la forme anisotrope de la loi de Hooke en notation matricielle, également appelée notation de Voigt.,>C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}
and Hooke’s law is written as
= or σ i = C i j ε j ., {\displaystyle =\qquad {\text{ou}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.,v>s_{46}&s_{56}&s_{66}\end{bmatrix}}}
changement du système de coordonnéesmodifier
Si un matériau élastique linéaire est tourné d’une configuration de référence à une autre, alors le matériau est symétrique par rapport à la rotation si les composantes les configurations pivotées sont liées aux composantes de la configuration de référence par la relation
C P Q R S = L P I L Q J L R K L S L C I J K L {\displaystyle C_{PQRS}=l_{Pi}l_{QJ}l_{RK}l_{SL}C_{ijkl}}
où Lab sont les composantes d’une matrice de rotation orthogonale ., La même relation vaut également pour les inversions.
en notation matricielle, si la base transformée (tournée ou inversée) est liée à la base de référence par
= {\displaystyle=}
alors
C i J ε I ε j = C i j ‘ε i’ ε j ‘ . {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}’\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j}\,.}
de plus, si le matériau est symétrique par rapport à la transformation alors
C I J = C I J ‘⟹ C I J ( ε I ε j − ε i ‘ε j’ ) = 0 ., {\displaystyle C_{ij}=C’_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j})=0\,.}
Orthotropic materialsEdit
Orthotropic materials have three orthogonal planes of symmetry.,>{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{aa}\\\sigma _{z}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
où
Ie est le module d’Young, le long de l’axe i Gij est le module de cisaillement dans la direction de j sur le plan dont la normale est dans la direction que je vij est le coefficient de Poisson qui correspond à une contraction dans la direction j lorsqu’une extension est appliqué dans la direction que je.,
dans des conditions de contraintes planes, σzz = σzx = σyz = 0, la loi de Hooke pour un matériau orthotrope prend la forme
= ., {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
The inverse relation is
= 1 1 − ν x y ν y x ., {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
The transposed form of the above stiffness matrix is also often used.,
matériaux transversalement isotropiquesmodifier
un matériau transversalement isotrope est symétrique par rapport à une rotation autour d’un axe de symétrie.,d= »83bec78907″>0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
Universal elastic anisotropy indexEdit
To grasp the degree of anisotropy of any class, a universal elastic anisotropy index (AU) was formulated., Il remplace le rapport de Zener, qui convient aux cristaux cubiques.
