de Cesàro e HölderEdit
Dados sobre o (H, 2) soma de 1⁄4
1, -1, 2, -2, 3, -3, …,
e as médias aritméticas destas somas parciais são:
1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, …. esta sequência de meios não converge, por isso 1 − 2 + 3 − 4 + … não é o Cesàro summable.
Existem duas generalizações bem conhecidas da soma de Cesàro: a conceitualmente mais simples destas é a sequência de (H, n) métodos para números naturais n., A soma de (H, 1) é soma de Cesàro, e métodos superiores repetem o cálculo dos meios. Acima, os meios pares convergem para 1⁄2, enquanto os meios ímpares são todos iguais a 0, então os meios dos meios convergem para a média de 0 e 1⁄2, ou seja, 1⁄4. Então … 1 − 2 + 3 − 4 + … is (H, 2) summable to 1⁄4.
the other commonly formulated generalization of Cesàro summation is the sequence of (C, n) methods. Tem sido provado que (c, n) soma e (H, N) soma sempre dão os mesmos resultados, mas eles têm diferentes origens históricas., Em 1887, Cesàro chegou perto de afirmar a definição de soma (C, n), mas ele deu apenas alguns exemplos. Em particular, resumiu 1 − 2 + 3 − 4 + …, a 1⁄4 por um método que pode ser reformulado como (C, n) mas não foi justificado como tal na época. He formally defined the (C, n) methods in 1890 in order to state his theorem that the Cauchy product of a (c, n)-summable series and a (C, m)-summable series is (C, m + n + 1)-summable.
Abel summationEdit
Algumas parciais de 1 − 2x + 3×2 + …,; 1/(1 + x)2; e limites em 1
em um relatório de 1749, Leonhard Euler admite que a série diverge, mas se prepara para somá-la de qualquer maneira:
… quando se diz que a soma desta série 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 etc. is 1⁄4, that must appear paradoxical. Porque adicionando 100 termos desta série, nós obtemos -50, no entanto, a soma de 101 Termos dá +51, que é bastante diferente de 1⁄4 e torna-se ainda maior quando se aumenta o número de termos., Mas eu já notei em um tempo anterior, que é necessário dar à palavra soma um significado mais estendido …
Euler propôs uma generalização da palavra “soma” várias vezes. No caso de 1 − 2 + 3 − 4 + …, suas ideias são semelhantes ao que hoje é conhecido como soma de Abel:
… não é mais duvidoso que a soma desta série 1 − 2 + 3 − 4 + 5 etc. is 1⁄4; since it arises from the expansion of the formula 1⁄(1+1) 2, whose value is incontestably 1⁄4., A ideia torna − se mais clara considerando a série geral 1 − 2x + 3×2 − 4×3 + 5×4-6×5 + &C. que surge ao expandir a expressão 1⁄(1+x)2, que esta série é realmente igual a depois de definir x = 1.
Existem muitas maneiras de se ver que, pelo menos para os valores absolutos |x| < 1, Euler é certo, em que
1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 . {\displaystyle 1-2x+3x^{2} – 4x^{3}+\cdots ={\frac {1} {(1+x)^{2}}}}., pode-se ter a expansão Taylor do lado direito, ou aplicar o processo formal de divisão longa para polinômios. A partir do lado esquerdo, pode − se seguir as heurísticas gerais acima e tentar multiplicar por (1 + x) duas vezes ou quadruplicar a série geométrica 1 − x + x2 -…. Euler também parece sugerir diferenciar o último termo de série por termo.
na visão moderna, a série 1 − 2x + 3×2 − 4×3 + … não define uma função em x = 1, de modo que o valor não pode simplesmente ser substituído na expressão resultante., Uma vez que a função é definida para todos |x| < 1, ainda se pode tomar o limite como X aproxima 1, e esta é a definição da Soma Abel:
lim x → 1 − ∑ n = 1 ∞ n ( − x ) n − 1 = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}
Euler and Boredit
soma de Euler a 1⁄2 − 1.4., Valores positivos são mostrados em branco, valores negativos são mostrados em castanho, e turnos e cancelamentos são mostrados em verde.
Euler aplicou outra técnica à série: a Transformada de Euler, uma de suas próprias invenções. Para calcular a Transformada de Euler, começa—se com a sequência de termos positivos que compõem a série alternada-neste caso 1, 2, 3, 4, …. O primeiro elemento desta sequência é rotulado a0.
1 2 a 0 − 1 4 Δ a 0 + 1 8 Δ 2 a 0 − ⋯ = 1 2 − 1 4 ., {\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}. na terminologia moderna, diz-se que 1 − 2 + 3 − 4 + … é Euler somável a 1⁄4.
a soma de Euler implica também outro tipo de soma. Representando 1 − 2 + 3 − 4 + … como
∑ k = 0 ∞ k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}
um tem o relacionado em toda a parte-série convergente
a ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) x k + 1 ( k + 1 ) !, = x ∑ k = 0 ∞ (- x ) k k k ! = e-x X. {\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k+1}}{(k+1)!}} = x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(- x)^{k}} {k!}=e^{- x}X.}
a soma de Borel de 1 − 2 + 3 − 4 + … é, portanto,
∫ 0 ∞ e − x-a ( x ) d x = ∫ 0 ∞ e − 2 x x d x = − ∂ ∂ β | 2 ∫ 0 ∞ e − β x d x = − ∂ ∂ β | 2 β − 1 = 1 4 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{2x}x\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\beta ^{-1}={\frac {1}{4}}., separação de scalesEdit
Saichev e Woyczyński chegam a 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 aplicando apenas dois princípios físicos: relaxamento infinitesimal e separação de escalas. Para ser preciso, estes princípios levam-nos a definir uma ampla família de “φ − métodos de soma”, todos os quais somam a série a 1⁄4:
lim δ → 0 ∑ m = 0 ∞ (- 1 ) m ( m + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 . {\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}. este resultado generaliza a soma de Abel, que é recuperada deixando φ (x) = exp (−x)., A afirmação geral pode ser provada por emparelhar os Termos na série sobre m e converter a expressão em uma integral de Riemann. Para este último passo, a prova correspondente para 1 − 1 + 1 − 1 + … aplica-se o teorema do valor médio, mas aqui precisa-se a forma Lagrange mais forte do teorema de Taylor.
