A lei de Hooke

para um desenvolvimento análogo para fluidos viscosos, ver viscosidade.os materiais isotrópicos são caracterizados por propriedades independentes da direção no espaço. As equações físicas envolvendo materiais isotrópicos devem, portanto, ser independentes do sistema de coordenadas escolhido para representá-los. O tensor da estirpe é um tensor simétrico., Uma vez que o traço de qualquer tensor é independente de qualquer sistema de coordenadas, a decomposição mais completa livre de coordenadas de um tensor simétrico é representá-lo como a soma de um tensor constante e um tensor simétrico traceless. Assim, no índice de notação:

ε i j = ( 1 3 ε k k δ i, j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}

onde δij é o delta de Kronecker., Em directo tensor notação:

ε = vol ⁡ ( ε ) + dev ⁡ ( ε ) ; vol ⁡ ( ε ) = 1 3 tr ⁡ ( ε ) I ; dev ⁡ ( ε ) = ε − vol ⁡ ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}

onde I é a ordem segundo tensor identidade.,

o primeiro termo à direita é o tensor constante, também conhecido como tensor da estirpe volumétrica, e o segundo termo é o tensor simétrico traceless, também conhecido como tensor da estirpe deviatorica ou tensor cisalhador.,>A forma mais geral da lei de Hooke para materiais isotrópicos pode agora ser escrito como uma combinação linear destes dois tensores:

σ i j = 3 K ( 1 a 3 ε k k δ i, j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i, j ) ; σ = 3 K vol ⁡ ( ε ) + 2 G dev ⁡ ( ε ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}

, onde K é o bulk modulus e G é o módulo de elasticidade de cisalhamento.,

Usando as relações entre os módulos elásticos, estas equações também podem ser expressas de várias outras formas.,na forma da lei de Hooke para materiais isotrópicos, expressa em directo tensor de notação, é

σ = λ tr ⁡ ( ε ) I + 2 μ ε = c : ε ; c = λ I ⊗ I + 2 μ I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimo \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}

onde λ = K − 2/3G = c1111 − 2c1212 e μ = G = c1212 são as constantes de Lamé, que é a segunda-rank identidade tensor, e eu é simétrica parte da quarta-rank tensor identidade.,j − σ i j ) ) ; ε = 1 E ( σ − ν ( tr ⁡ ( σ ) I − σ ) ) = 1 + ν E σ − ν E d E s tr ⁡ ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{B}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{B}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }

Esta é a forma em que a tensão é expressa em termos de stress tensor em engenharia.,1}&={\frac {1}{B}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{B}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{B}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{alinhado}}}

, onde E é o módulo de Young e ν é Poisson relação., (Ver elasticidade 3-D).,div>0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}

where γij = 2εij is the engineering shear strain.,>\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}

, onde I é o tensor identidade.,

tensão Planeedit

sob condições de tensão plane, S31 = S13 = S32 = S23 = S33 = 0.,n _{22}\right)\right)}

A relação inversa é normalmente escrito na forma reduzida

= 1 E {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{B}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}

Avião strainEdit

Sob o plano condições de pressão, ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0.,begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {B}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}

Anisotrópica materialsEdit

A simetria de Cauchy stress tensor (σij = σji) e o Hooke generalizada leis (σij = cijklekl) implica que cijkl = cjikl., Similarly, the symmetry of the infinitesimal strain tensor implies that cijkl = cijlk. Estas simetrias são chamadas simetrias menores do tensor C. Isto reduz o número de constantes elásticas de 81 a 36.

Se, além disso, uma vez que o gradiente de deslocamento e a tensão de Cauchy são conjugados de trabalho, a relação tensão–tensão pode ser derivada de uma densidade de energia de tensão funcional (U), então

σ i j = ∂ u ∂ ε i j j c i j k l = ∂ 2 U ∂ ε i j ∂ ε k l., {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implica \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,. a arbitrariedade da ordem de diferenciação implica que cijkl = cklij. Estas são chamadas As principais simetrias do tensor de rigidez. Isto reduz o número de constantes elásticas de 36 para 21. As simetrias maior e menor indicam que o tensor de rigidez tem apenas 21 componentes independentes.,

representação matricial (tensor de rigidez)edita

é muitas vezes útil expressar a forma anisotrópica da lei de Hooke na notação matricial, também chamada Notação Voigt.,>C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}

and Hooke’s law is written as

= or σ i = C i j ε j ., {\displaystyle =\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=c_{ij}\varepsilon _{j}\,.,v>S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}

Mudança de coordenadas systemEdit

Se um material elástico linear é rodado a partir de uma configuração de referência para outro, em seguida, o material é simétrica com respeito à rotação se os componentes do tensor de rigidez na rodada de configuração estão relacionados com os componentes na configuração de referência a relação

c p q r s = l p i l p j l r k l s l a c i j k l {\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}

onde laboratório são os componentes de uma rotação ortogonal da matriz ., A mesma relação também vale para inversões.

na notação matricial, se a base transformada (rodada ou invertida) estiver relacionada com a base de referência por

= {\displaystyle =}

então

c i j ε i ε j = c i j ‘ε i’ ε j ‘ . {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}’\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j}\,.}

In addition, if the material is symmetric with respect to the transformation then

c i j = c i j ‘⟹ c i j ( ε i ε J − ε i ‘ε j’ ) = 0 ., {\displaystyle C_{ij}=C’_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j})=0\,.}

Orthotropic materialsEdit

Orthotropic materials have three orthogonal planes of symmetry.,>