dois triângulos são congruentes se seus lados correspondentes são iguais em comprimento, e seus ângulos correspondentes são iguais em medida.se o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF, a relação pode ser escrita matematicamente como:
△ A B C ≅ △ D E F. {\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} .}
em muitos casos é suficiente estabelecer a igualdade de três partes correspondentes e usar um dos seguintes resultados para deduzir a congruência dos dois triângulos.,
A forma de um triângulo é determinado até congruência especificando dois lados e o ângulo entre eles (SAS), dois ângulos e o lado entre eles (ASA), ou dois ângulos e o lado adjacente (AAS). Especificar dois lados e um ângulo adjacente (SSA), no entanto, pode produzir dois triângulos distintos possíveis.,
Determinar a congruência
provas Suficientes para a congruência entre dois triângulos no espaço Euclidiano pode ser mostrado através das seguintes comparações:
- SAS (Lado-Ângulo-Lado): Se dois pares de lados de dois triângulos são iguais em comprimento, e os incluídos ângulos são iguais na medida, então os triângulos são congruentes.
- SSS (lado-lado): se três pares de lados de dois triângulos são iguais em comprimento, então os triângulos são congruentes.,
- ASA (ângulo-lado-ângulo): se dois pares de ângulos de dois triângulos são iguais em medida, e os lados incluídos são iguais em comprimento, então os triângulos são congruentes.
o postulado ASA foi contribuído por Tales de Mileto (Grego). Na maioria dos sistemas de axiomas, os três critérios – SAS, SSS e ASA – são estabelecidos como teoremas. Na Escola de matemática, o sistema SAS é tomado como um (#15) de 22 postulados.,
- AAS (Ângulo-Ângulo-lado): se dois pares de ângulos de dois triângulos são iguais em medida, e um par de lados correspondentes não incluídos são iguais em comprimento, então os triângulos são congruentes. O AAS é equivalente a uma condição ASA, pelo fato de que se quaisquer dois ângulos são dados, assim é o terceiro ângulo, uma vez que sua soma deve ser 180°. ASA e AAS são por vezes combinados em uma única condição, AAcorrS – quaisquer dois ângulos e um lado correspondente., RHS (Lado Direito-ângulo Hipotenuso), também conhecido como HL (hipotenusa-perna): se dois triângulos de ângulo direito têm seus hipotenós iguais em comprimento, e um par de lados mais curtos são iguais em comprimento, então os triângulos são congruentes.
ângulo lateral
a condição SSA (ângulo lateral) que especifica dois lados e um ângulo não incluído (também conhecido como ASS, ou ângulo lateral) não prova, por si só, congruência., A fim de mostrar congruência, informações adicionais são necessárias, tais como a medida dos ângulos correspondentes e, em alguns casos, o comprimento dos dois pares de lados correspondentes. Existem alguns possíveis casos de:
Se dois triângulos satisfazer a SSA condição e o comprimento do lado oposto ao ângulo é maior ou igual ao comprimento do lado adjacente (SSA, ou lado longo-curto-lado-ângulo), então os dois triângulos são congruentes. O lado oposto é às vezes maior quando os ângulos correspondentes são agudos, mas é sempre maior quando os ângulos correspondentes são retos ou obtusos., Quando o ângulo é um ângulo reto, também conhecido como o postulado da perna hipotenusa (HL) ou o ângulo reto-hipotenusa-lado (RHS), o terceiro lado pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras, permitindo assim que o postulado SSS seja aplicado.
Se dois triângulos satisfazer a SSA condição e os correspondentes ângulos são agudos e o comprimento do lado oposto ao ângulo é igual ao comprimento do lado adjacente multiplicado pelo seno do ângulo, então os dois triângulos são congruentes.,
Se dois triângulos satisfazer a SSA condição e os correspondentes ângulos são agudos e o comprimento do lado oposto ao ângulo é maior do que o comprimento do lado adjacente multiplicado pelo seno do ângulo (mas menos do que o comprimento do lado adjacente), então os dois triângulos não pode ser mostrado para ser congruentes. Este é o caso ambíguo e dois triângulos diferentes podem ser formados a partir da informação dada, mas mais informações distinguindo-os podem levar a uma prova de congruência.,
Ângulo-ângulo-ângulo
Na geometria Euclidiana, AAA (Ângulo-ângulo-Ângulo) (ou apenas AA, uma vez que na geometria Euclidiana, os ângulos de um triângulo somam 180°) não fornece informações sobre o tamanho dos dois triângulos e, portanto, prova única semelhança e não congruência no espaço Euclidiano.
no entanto, na geometria esférica e na geometria hiperbólica (onde a soma dos ângulos de um triângulo varia com o tamanho) AAA é suficiente para congruência em uma determinada curvatura da superfície.,
CPC
Este acrónimo significa partes correspondentes de triângulos congruentes são congruentes uma versão abreviada da definição de triângulos congruentes., , {\displaystyle \triângulo ABC\config \triângulo DEF,}
com os respectivos pares de ângulos com vértices A e D; B e e; C e F, e com o correspondente pares de lados AB e DE; BC e EF; e CA e FD, então as seguintes afirmações são verdadeiras:
A B ≅ D E {\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}} B C ≅ E F {\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}} A C ≅ D F {\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}} ∠ B A C ≅ ∠ E D F {\displaystyle \ângulo BAC\config \ângulo EDF} ∠ A B C ≅ ∠ D E F {\displaystyle \ângulo ABC\config \ângulo DEF} ∠ A B C A ≅ ∠ E E F D ., {\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}
a afirmação é frequentemente usada como uma justificação em provas de geometria elementar quando uma conclusão da congruência de Partes de dois triângulos é necessária após a congruência dos triângulos ter sido estabelecida. Por exemplo, se dois triângulos foram mostrados como congruentes pelos critérios do SSS e uma declaração de que os ângulos correspondentes são congruentes é necessária em uma prova, então CPC pode ser usada como uma justificação desta afirmação.,
um teorema relacionado é CPC, no qual” triângulos “é substituído por” figuras ” de modo que o teorema se aplica a qualquer par de polígonos ou poliedros que são congruentes.
