Definição de Equação Diferencial Homogênea
Uma equação diferencial de primeira ordem
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é chamada de equação homogênea, se o lado direito satisfaz a condição
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para todo o \(t.,\) Em outras palavras, o lado direito é uma função homogênea (com respeito às variáveis \(x\) e \(y\)) de ordem zero:
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Um homogênea da equação diferencial também pode ser escrito na forma
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ou, alternativamente, na forma diferencial:
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onde \(P\left( {x,y} \right)\) e \(Q\left( {x,y} \right)\) são homogéneos funções do mesmo grau.,
definição de função homogênea
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resolução de Equações Diferenciais homogêneas
uma equação homogênea pode ser resolvida por substituição \(y = ux,\) que leva a uma equação diferencial separável.
uma equação diferencial do tipo
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é convertida numa equação separável, movendo a origem do sistema de Coordenadas para o ponto de intersecção das linhas rectas dadas., Se estas retas são paralelas, a equação diferencial é transformada em separáveis equação usando a mudança de variável:
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Problemas Resolvidos
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exemplo 1.
resolver a equação diferencial \(\esquerda ({2x + y} \direita) dx\) \ (- xdy = 0.\)
solução.
suponha que \(y = ux,\) onde \(u\) é uma nova função dependendo de \(X.,\) Então
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Substituindo na equação diferencial, obtém-se
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Assim,
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Dividindo ambos os lados por \(x\) rendimento:
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Integrar a última expressão para obter:
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onde \(C\) é uma constante de integração.
Retornando para o antigo variável \(y\), podemos escrever:
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Assim, a equação tem duas soluções:
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