Qu’est-ce que le stress de von Mises?

la contrainte de Von Mises est une valeur utilisée pour déterminer si un matériau donné va céder ou se fracturer. Il est principalement utilisé pour les matériaux ductiles, tels que les métaux. Le critère de rendement de von Mises indique que si la contrainte de von Mises d’un matériau sous charge est égale ou supérieure à la limite de rendement du même matériau sous tension simple, le matériau cédera.,

histoire du stress de von Mises

Il est communément admis que L’histoire de la théorie de l’élasticité a commencé avec les études de Robert Hooke au 17ème siècle\(^1\) qui a exploré les concepts fondamentaux de la déformation du ressort et du déplacement d’une poutre. Cependant, l’ingénierie n’était pas la seule raison de l’étude de la théorie de l’élasticité, car cette recherche était également liée à la tentative d’interprétation de la nature et de la théorie de l’éther\(^2\).,

ce n’est qu’au 19ème siècle que la théorie quantitative et mathématique de l’élasticité des corps est née, avec la mécanique du continuum, qui a permis l’utilisation du calcul intégral et différentiel lors de la modélisation des phénomènes élastiques. La mécanique du continuum suppose ce qu’on appelle une homogénéisation du milieu, de telle sorte que les fluctuations microscopiques sont moyennées et qu’un champ continu qui modélise le milieu peut être obtenu. Par conséquent, il suppose que pour chaque instant de temps et pour chaque point de l’espace occupé par le milieu, il existe une particule ponctuelle.,

de nombreuses théories et concepts ont été dérivés du concept de base de la mécanique du continuum. L’un d’entre eux est la théorie de l’énergie de distorsion maximale, qui est appliquée dans de nombreux domaines tels que les roulements En Caoutchouc et les applications avec d’autres matériaux ductiles. Il a été initialement proposé par Hubert en 1904 et développé par von Mises en 1913\(^3\). Selon lui, le rendement se produit lorsque l’énergie de distorsion atteint une valeur critique. Cette valeur critique, spécifique à chaque matériau, peut facilement être obtenue en effectuant un simple test de tension.,

Introduction

Lorsqu’un corps, dans un État d’équilibre initial ou dans un état non déformé, est soumis à une force corporelle ou à une force de surface, le corps se déforme de manière correspondante jusqu’à atteindre un nouvel état d’équilibre mécanique ou un état déformé. Les forces internes du corps sont le résultat d’un champ de force tel que la gravité, tandis que les forces de surface sont des forces appliquées sur le corps par contact avec d’autres corps.,

Les relations entre les forces externes — qui caractérisent ce qu’on appelle la contrainte et la déformation du corps, qui caractérise la souche, sont appelées relations Contrainte-Déformation. Ces relations représentent les propriétés du matériau qui compose le corps et sont également connues sous le nom d’équations constitutives.

Les figures ci-dessous (adaptées de ) illustrent la courbe obtenue lors de l’étude de la réponse à la déformation de la tension uniaxiale d’une poutre en acier doux., La description de chaque point souligné est la suivante:

• limite élastique: la limite élastique définit la région où l’énergie n’est pas perdue pendant le processus de contrainte et de contrainte. Autrement dit, les processus qui ne dépassent pas la limite élastique sont réversibles. Cette limite est également appelée limite d’élasticité. Au-delà de cette limite, les déformations cessent d’être élastiques et commencent à être plastiques, et la déformation comprend une partie irréversible. La valeur de contrainte de la limite élastique est utilisée ici comme \(S_y\).,
• rendement supérieur et rendement inférieur: lorsque l’acier doux se trouve dans la plage de plastique et atteint un point critique — appelé limite de rendement supérieure —, il tombe rapidement à la limite de rendement inférieure, à partir de laquelle la déformation se produit sous contrainte constante, jusqu’à ce qu’il recommence à résister à la déformation.
• contrainte de Rupture: la Rupture, ou fracture, est la séparation d’un objet causée par une contrainte. Par conséquent, à ce stade, la fracture du corps est attendue. Les matériaux tels que l’acier doux — qui n’ont la propriété de se fracturer qu’après de grandes déformations plastiques — sont appelés ductiles., La fracture illustrée ici est appelée fracture ductile. Vous pouvez reconnaître une fracture ductile lorsque le diagramme a une courbe comme celle ci-dessous. Cela signifie que lorsque le matériau devient plus mince, plus de pression est appliquée jusqu’à ce qu’il se brise soudainement au point de contrainte de rupture.

Ce schéma est généralement approchée pour de nombreux matériaux comme le montre l’image ci-dessous:

critère de rendement de Von Mises

les limites élastiques discutées précédemment sont basées sur des expériences simples de tension ou de contrainte uniaxiale., La théorie de l’énergie de distorsion maximale, cependant, est née lorsqu’il a été observé que les matériaux, en particulier les matériaux ductiles, se comportaient différemment lorsqu’une tension non simple ou une contrainte non uniaxiale était appliquée, présentant des valeurs de résistance beaucoup plus grandes que celles observées lors d’expériences de tension simple. Une théorie impliquant le tenseur de contrainte complet a donc été développée.

la contrainte de von Mises est un critère de rendement, largement utilisé pour les métaux et autres matériaux ductiles.,bstitué dans la première expression:

$ $ \frac{1}{6}=\frac{S_y^2}{3} \tag{4} or

ou, enfin

$ $ \sqrt{\frac{(\tau_{11}-\tau_{22})^2 + (\tau_{22}-\tau_{33})^2 + (\tau_{33}-\tau_{11})^2 + 6(\tau ^ 2_{12} + \tau ^ 2_{23}+\tau^2_{13})}{2}}=S_y \tag{5}

la contrainte de Von Mises, \(\tau_v\), est définie comme suit:

\\tau_v^2=3k^2 \tag{6} therefore

par conséquent, le critère de rendement de Von Mises est également souvent réécrit comme:

$ $ \tau_v \GEQ{s_y} \ Tag{7}

c’est-à-dire si la contrainte est supérieure à la contrainte limite de tension simple, alors le matériau devrait céder.,

le stress de von Mises n’est pas un vrai stress. C’est une valeur théorique qui permet la comparaison entre la contrainte tridimensionnelle générale et la limite de rendement de contrainte uniaxiale.

Le critère de rendement de von Mises est également connu sous le nom de critère de rendement octaédrique\(^5\). Ceci est dû au fait que la contrainte de cisaillement agissant sur les plans octaédriques (c’est-à-dire,oct} \tag{8}$$

Qui, pour le cas de la traction uniaxiale ou de traction simple, simplifie:

$$ \frac{\sqrt2}{3}\tau_y=\tau_{oct} \tag{9}$$

Encore une fois, si \(\tau_y\) atteint la simple tension limite élastique, \(S_y\), alors l’expression ci-dessus devient:

$$ \frac{\sqrt2}{3}S_y=\tau_{oct} \tag{10}$$

Et, en appliquant ce résultat dans l’octaèdre stress expression:

$$ \sqrt{\frac{(\tau_1-\tau_2)^2 + (\tau_2-\tau_3)^2 + (\tau_3-\tau_1)^2}{2}}=S_y \tag{11}$$

Similaire au résultat obtenu par la contrainte de von Mises, ce qui définit un critère basé sur l’octaèdre stress., Par conséquent, si la contrainte octaédrique est supérieure à la limite de rendement de contrainte simple, alors le rendement devrait se produire.

la contrainte de von Mises peut, par exemple, être appliquée dans des domaines tels que le forage de réservoirs d’hydrocarbures, où les tuyaux devraient être soumis à des conditions de pression élevée et de charge combinée. Dans ce cas, la contrainte de von Mises peut être écrite sous la forme\(^5\):

$$ \sqrt{\frac{(\tau_z-\tau_t)^2 + (\tau_t-\tau_r)^2 + (\tau_r-\tau_z)^2}{2}}=\tau_v \tag{12}$$

Où \(z\), \(r\), et \(t\) sont axiale, radiale et tangentielle des contraintes., Le critère est le même que précédemment, c’est-à-dire que si la contrainte de von Mises obtenue à partir de l’expression ci-dessus est égale ou supérieure à la simple contrainte d’élasticité de tension du matériau, alors le rendement devrait se produire.

critère de rendement de Tresca

Le critère de rendement de Tresca est un autre exemple d’un critère commun utilisé pour déterminer la contrainte maximale du matériau avant de céder. Le calcul du rendement avec la méthode de Tresca aboutit toujours à un résultat inférieur à celui de la méthode de von Mises. Il est communément connu comme une estimation plus conservatrice sur l’échec au sein de la communauté scientifique., En outre, il est connu comme le critère de rendement de contrainte de cisaillement maximale\(^4\). L’expression la plus générale pour la contrainte de cisaillement maximale est:

$ $ =0 \tag{13}

ce critère peut être simplifié lorsque l’ordre de grandeur des composantes de la contrainte est connu. L’expression ci-dessus se réduit alors à:

$ $ (\tau_1-\tau_3)^2-(S_y)^2=0 \tag{14}

le critère de rendement de Tresca est linéaire par morceaux, tandis que le critère de rendement de Von Mises est non linéaire. Cependant, la surface de rendement de Tresca peut impliquer des singularités., Les différences dans les prédictions entre les deux conditions sont considérablement faibles.

Von Mises Stress sur SimScale

Il existe de nombreux domaines qui bénéficient du critère de rendement de von Mises. Il existe des projets publics SimScale qui peuvent aider à mieux comprendre la théorie du stress de von Mises. Par exemple, l’image ci-dessous montre une étude de la contrainte von Mises sur une plaque de montage soumise à une certaine charge.,

l’image ci-dessous est tirée d’un tutoriel étape par étape qui montre une analyse structurelle et de plasticité pour l’éclatement d’un réservoir d’essence et est une ressource intéressante pour les débutants.,

Dernière mise à jour: 20 janvier 2021