1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (Italiano)

Cesàro e HölderEdit

1, -1, 2, -2, 3, -3, …,

e le medie aritmetiche di queste somme parziali sono:

1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, ….

Questa sequenza di mezzi non converge, quindi 1 − 2 + 3 − 4 + … Cesàro non è sommabile.

Esistono due generalizzazioni ben note della sommatoria di Cesàro: la concettualmente più semplice di queste è la sequenza dei metodi (H, n) per i numeri naturali n., La somma (H, 1) è somma di Cesàro, e metodi superiori ripetono il calcolo dei mezzi. Sopra, i mezzi pari convergono a 1 2 2, mentre i mezzi dispari sono tutti uguali a 0, quindi i mezzi dei mezzi convergono alla media di 0 e 1 2 2, vale a dire 1 4 4. Quindi 1 − 2 + 3 − 4 + … è (H, 2) sommabile a 1 4 4.

L’altra generalizzazione comunemente formulata della somma di Cesàro è la sequenza dei metodi (C, n). È stato dimostrato che la sommatoria (C, n) e la sommatoria (H, n) danno sempre gli stessi risultati, ma hanno background storici diversi., Nel 1887, Cesàro si avvicinò ad affermare la definizione di (C, n) sommatoria, ma fornì solo alcuni esempi. In particolare, ha riassunto 1 − 2 + 3 − 4 + …, a 1 4 4 con un metodo che può essere riformulato come (C, n) ma non era giustificato come tale al momento. Ha formalmente definito il (C, n) metodi nel 1890 al fine di affermare il suo teorema che il prodotto di Cauchy di a (C, n)-sommabile serie e a (C, m)-sommabile serie è (C, m + n + 1)-sommabile.

Abel summationEdit

In un rapporto del 1749, Leonhard Euler ammette che la serie diverge ma si prepara a sommarla comunque:

… quando si dice che la somma di questa serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 ecc. è 1 4 4, che deve apparire paradossale. Poiché aggiungendo 100 termini di questa serie, otteniamo -50, tuttavia, la somma di 101 termini dà +51, che è molto diverso da 1 4 4 e diventa ancora maggiore quando si aumenta il numero di termini., Ma ho già notato in un momento precedente, che è necessario dare alla parola somma un significato più esteso …

Eulero ha proposto una generalizzazione della parola “somma” più volte. Nel caso di 1 − 2 + 3 − 4 + …, le sue idee sono simili a ciò che ora è noto come Abel summation:

… non è più dubbio che la somma di questa serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 ecc. è 1 4 4; poiché deriva dall’espansione della formula 1 formula(1+1)2, il cui valore è incontestabilmente 1 incont 4., L’idea diventa più chiara considerando la serie generale 1 − 2x + 3×2 − 4×3 + 5×4-6×5 + &c. ciò sorge espandendo l’espressione 1 ((1+x)2, a cui questa serie è effettivamente uguale dopo aver impostato x = 1.

Ci sono molti modi per vedere che, almeno per i valori assoluti| x/< 1, Eulero ha ragione in quel

1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 . Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.,}

Si può prendere l’espansione di Taylor del lato destro o applicare il processo formale di divisione lunga per i polinomi. Partendo dal lato sinistro, si può seguire l’euristica generale sopra e provare a moltiplicare per (1 + x) due volte o quadrare la serie geometrica 1-x + x2−…. Eulero sembra anche suggerire di differenziare quest’ultima serie termine per termine.

Nella vista moderna, la serie 1 − 2x + 3×2 − 4×3 + … non definisce una funzione a x = 1, quindi quel valore non può essere semplicemente sostituito nell’espressione risultante., Poiché la funzione è definita per tutti / x / < 1, si può ancora prendere il limite quando x si avvicina a 1, e questa è la definizione della somma Abel:

lim x → 1 − n n = 1 ∞ n ( − x ) n − 1 = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.)^{2}}}={\ frac {1}{4}}.}

Eulero e BorelEdit

Eulero applicò un’altra tecnica alla serie: la trasformazione di Eulero, una delle sue invenzioni. Per calcolare la trasformata di Eulero, si inizia con la sequenza di termini positivi che costituisce la serie alternata – in questo caso 1, 2, 3, 4, …. Il primo elemento di questa sequenza è etichettato a0.

1 2 a 0 − 1 4 Δ a 0 + 1 8 Δ 2 a 0 − ⋯ = 1 2 − 1 4 ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.{1}{2}}-{\ frac {1}{4}}.}

Nella terminologia moderna, si dice che 1 − 2 + 3 − 4 + … Eulero è sommabile a 1 4 4.

La sommabilità di Eulero implica anche un altro tipo di sommabilità. Rappresentante 1 − 2 + 3 − 4 + … come

∑ k = 0 ∞ k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}

uno ha i relativi dappertutto-convergente la serie

( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) x k + 1 ( k + 1 ) !, = x k k = 0 ∞ (- x ) k k ! = e-x x . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!}il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!}}=e ^ {- x} x.}

La somma di Borel di 1 − 2 + 3 − 4 + … è quindi

∫ 0 ∞ e − x a ( x ) d x = ∫ 0 ∞ e − 2 x x d x = − β β | 2 ∫ 0 ∞ e − β x d x = − β β | 2 β − 1 = 1 4 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}x\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\beta ^{-1}={\frac {1}{4}}.,}

Separazione delle scaleedit

Saichev e Woyczyński arrivano a 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 4 4 applicando solo due principi fisici: rilassamento infinitesimale e separazione delle scale. Per essere precisi, questi principi li portano a definire un’ampia famiglia di “metodi φ-sommatoria”, che sommano tutte le serie a 1 4 4:

lim δ → 0 m m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( m + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Questo risultato generalizza la sommatoria Abel, che viene recuperata lasciando φ(x) = exp(−x)., L’affermazione generale può essere dimostrata accoppiando i termini della serie su m e convertendo l’espressione in un integrale di Riemann. Per quest’ultimo passaggio, la prova corrispondente per 1 − 1 + 1 − 1 + … applica il teorema del valore medio, ma qui è necessaria la forma di Lagrange più forte del teorema di Taylor.