Due triangoli sono congruenti se i loro lati corrispondenti sono uguali in lunghezza e i loro angoli corrispondenti sono uguali in misura.
Se il triangolo ABC è congruente al triangolo DEF, la relazione può essere scritta matematicamente come:
A A B C F D E F . {\displaystyle \ triangle \ mathrm {ABC} \cong \ triangle \ mathrm {DEF}.}
In molti casi è sufficiente stabilire l’uguaglianza di tre parti corrispondenti e utilizzare uno dei seguenti risultati per dedurre la congruenza dei due triangoli.,
La forma di un triangolo è determinata fino alla congruenza specificando due lati e l’angolo tra di loro (SAS), due angoli e il lato tra di loro (ASA) o due angoli e un lato adiacente corrispondente (AAS). Specificare due lati e un angolo adiacente (SSA), tuttavia, può produrre due triangoli possibili distinti.,
la Determinazione di congruità
Sufficienti prove di congruenza tra due triangoli nello spazio Euclideo può essere illustrata attraverso i seguenti confronti:
- SAS (Lato-Angolo-Lato): Se due coppie di lati di due triangoli sono uguali in lunghezza, e incluso angoli sono uguali in di misura, quindi i triangoli sono congruenti.
- SSS (Side-Side-Side): se tre coppie di lati di due triangoli sono uguali in lunghezza, i triangoli sono congruenti.,
- ASA (Angle-Side-Angle): se due coppie di angoli di due triangoli sono uguali in misura e i lati inclusi sono uguali in lunghezza, i triangoli sono congruenti.
Il postulato ASA è stato contribuito da Talete di Mileto (greco). Nella maggior parte dei sistemi di assiomi, i tre criteri – SAS, SSS e ASA – sono stabiliti come teoremi. Nel sistema di gruppo di studio della matematica della scuola SAS è preso come uno (#15) di 22 postulati.,
- AAS (Angle-Angle-Side): se due coppie di angoli di due triangoli sono uguali nella misura e una coppia di lati corrispondenti non inclusi è uguale in lunghezza, i triangoli sono congruenti. AAS è equivalente a una condizione ASA, dal fatto che se vengono dati due angoli, lo è anche il terzo angolo, poiché la loro somma dovrebbe essere di 180°. ASA e AAS sono talvolta combinati in un’unica condizione, AAcorrS – due angoli e un lato corrispondente.,
- RHS (Right-angle-Hypotenuse-Side), noto anche come HL (Hypotenuse-Leg): Se due triangoli ad angolo retto hanno i loro ipoteni uguali in lunghezza e una coppia di lati più corti sono uguali in lunghezza, allora i triangoli sono congruenti.
Side-side-angle
La condizione SSA (side-side-angle) che specifica due lati e un angolo non incluso (noto anche come ASS o angle-side-side) non dimostra di per sé la congruenza., Per mostrare la congruenza, sono necessarie ulteriori informazioni come la misura degli angoli corrispondenti e in alcuni casi le lunghezze delle due coppie di lati corrispondenti. Ci sono alcuni casi possibili:
Se due triangoli soddisfano la condizione SSA e la lunghezza del lato opposto all’angolo è maggiore o uguale alla lunghezza del lato adiacente (SSA, o lato lungo-lato corto-angolo), allora i due triangoli sono congruenti. Il lato opposto è a volte più lungo quando gli angoli corrispondenti sono acuti, ma è sempre più lungo quando gli angoli corrispondenti sono giusti o ottusi., Dove l’angolo è un angolo retto, noto anche come postulato dell’ipotenusa-gamba (HL) o condizione del lato dell’ipotenusa-Angolo retto (RHS), il terzo lato può essere calcolato usando il Teorema di Pitagora permettendo così di applicare il postulato SSS.
Se due triangoli soddisfano la condizione SSA e gli angoli corrispondenti sono acuti e la lunghezza del lato opposto all’angolo è uguale alla lunghezza del lato adiacente moltiplicata per il seno dell’angolo, i due triangoli sono congruenti.,
Se due triangoli soddisfare SSA condizione e i corrispondenti angoli sono acuti, e la lunghezza del lato opposto all’angolo è maggiore della lunghezza del lato adiacente moltiplicato per il seno dell’angolo (ma inferiore alla lunghezza del lato adiacente), allora i due triangoli non può essere dimostrato di essere congruenti. Questo è il caso ambiguo e due triangoli diversi possono essere formati dalle informazioni fornite, ma ulteriori informazioni che li distinguono possono portare a una prova di congruenza.,
Angolo-angolo-angolo
Nella geometria euclidea, AAA (Angolo-Angolo-Angolo) (o solo AA, poiché nella geometria euclidea gli angoli di un triangolo si sommano a 180°) non fornisce informazioni riguardanti la dimensione dei due triangoli e quindi dimostra solo somiglianza e non congruenza nello spazio euclideo.
Tuttavia, nella geometria sferica e nella geometria iperbolica (dove la somma degli angoli di un triangolo varia con le dimensioni) AAA è sufficiente per la congruenza su una data curvatura della superficie.,
CPCTC
Questo acronimo sta per Parti corrispondenti di triangoli congruenti sono congruenti una versione abbreviata della definizione di triangoli congruenti., , {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangolo DEF,}
con le corrispondenti coppie di angoli al vertice A e D; B e e e C e F, e, con le corrispondenti coppie di lati AB e DE; BC e EF; e CA e FD, quindi sono vere le seguenti istruzioni:
A B ≅ D E {\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}} B C ≅ E F {\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}} A C ≅ D F {\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}} ∠ B A C ≅ ∠ E D F {\displaystyle \angolo BAC\cong \angolo EDF} ∠ A B C ≅ ∠ D E F {\displaystyle \angolo ABC\cong \angolo DEF} ∠ B C ≅ ∠ E F .D., {\displaystyle \ angolo BCA \cong \ angolo EFD.}
L’istruzione è spesso usata come giustificazione nelle prove di geometria elementare quando è necessaria una conclusione della congruenza di parti di due triangoli dopo che è stata stabilita la congruenza dei triangoli. Ad esempio, se due triangoli sono stati dimostrati congruenti dai criteri SSS e un’affermazione che gli angoli corrispondenti sono congruenti è necessaria in una dimostrazione, allora CPCTC può essere usato come giustificazione di questa affermazione.,
Un teorema correlato è CPCFC, in cui “triangoli” viene sostituito con “figure” in modo che il teorema si applichi a qualsiasi coppia di poligoni o poliedri congruenti.
