Cos’è lo stress di von Mises?

Lo stress di Von Mises è un valore utilizzato per determinare se un dato materiale cederà o si fratturerà. Viene principalmente utilizzato per materiali duttili, come i metalli. Il criterio di resa di von Mises afferma che se la tensione di von Mises di un materiale sotto carico è uguale o maggiore del limite di resa dello stesso materiale sotto tensione semplice, il materiale cederà.,

Storia dello stress di von Mises

È comunemente accettato che la storia della teoria dell’elasticità sia iniziata con gli studi di Robert Hooke nel 17 ° secolo\(^1\) che ha esplorato i concetti fondamentali della deformazione della molla e dello spostamento di una trave. Tuttavia, l’ingegneria non era l’unica ragione per lo studio della teoria dell’elasticità, poiché quella ricerca era anche legata al tentativo di interpretare la natura e la teoria dell’etere\(^2\).,

Fu solo nel 19 ° secolo che nacque la teoria quantitativa e matematica dell’elasticità dei corpi, insieme alla meccanica del continuo, che permise l’uso del calcolo integrale e differenziale nella modellazione dei fenomeni elastici. La meccanica del continuo suppone quella che viene chiamata omogeneizzazione del mezzo, in modo tale che le fluttuazioni microscopiche siano medie e si possa ottenere un campo continuo che modelli il mezzo. Pertanto, presuppone che per ogni istante di tempo e per ogni punto nello spazio occupato dal mezzo, ci sia una particella puntuale.,

Molte teorie e concetti sono stati derivati dal concetto di base della meccanica del continuo. Uno di questi è la teoria dell’energia di distorsione massima, che viene applicata in molti campi come cuscinetti in gomma e applicazioni con altri materiali duttili. Fu inizialmente proposto da Hubert nel 1904 e ulteriormente sviluppato da von Mises nel 1913\(^3\). Secondo esso, il rendimento si verifica quando l’energia di distorsione raggiunge un valore critico. Questo valore critico, che è specifico per ogni materiale, può essere facilmente ottenuto eseguendo una semplice prova di tensione.,

Introduzione

Quando un corpo, in uno stato iniziale di equilibrio o stato non deformato, è sottoposto a una forza corporea o a una forza superficiale, il corpo si deforma corrispondentemente fino a raggiungere un nuovo stato di equilibrio meccanico o stato deformato. Le forze interne del corpo sono il risultato di un campo di forza come la gravità, mentre le forze di superficie sono forze applicate sul corpo attraverso il contatto con altri corpi.,

Le relazioni tra forze esterne — che caratterizzano quello che viene chiamato lo stress — e la deformazione del corpo, che caratterizza lo sforzo, sono chiamate relazioni Stress-Ceppo. Queste relazioni rappresentano le proprietà del materiale che compongono il corpo e sono anche note come equazioni costitutive.

Le figure seguenti (adattate da ) illustrano la curva ottenuta studiando la risposta alla deformazione della tensione uniassiale di una trave di acciaio dolce., La descrizione di ogni punto sottolineato è la seguente:

• Limite elastico: Il limite elastico definisce la regione in cui l’energia non viene persa durante il processo di stress e tensione. Cioè, i processi che non superano il limite elastico sono reversibili. Questo limite è anche chiamato stress di snervamento. Al di sopra di tale limite, le deformazioni smettono di essere elastiche e iniziano ad essere plastiche, e la deformazione include una parte irreversibile. Il valore di stress del limite elastico è usato qui come \(S_y\).,
• Rendimento superiore e rendimento inferiore: quando l’acciaio dolce si trova nell’intervallo di plastica e raggiunge un punto critico-chiamato limite di rendimento superiore -, scenderà rapidamente al limite di rendimento inferiore, da cui la deformazione avviene a stress costante, fino a quando non ricomincia a resistere alla deformazione.
• Stress di rottura: la rottura, o frattura, è la separazione di un oggetto causata dallo stress. Pertanto, a questo punto, è prevista la frattura del corpo. Materiali come l’acciaio dolce — che hanno la proprietà di fratturarsi solo dopo grandi deformazioni plastiche — sono chiamati duttili., La frattura qui illustrata è chiamata frattura duttile. È possibile riconoscere una frattura duttile quando il diagramma ha una curva come quella mostrata sotto. Ciò significa che man mano che il materiale diventa più sottile viene applicata una maggiore pressione fino a quando non si rompe improvvisamente nel punto di rottura.

Questo diagramma è comunemente approssimata per molti materiali, come è mostrato nella foto qui sotto:

Von Mises Yield Criterion

I limiti elastici discussi in precedenza si basano su semplici esperimenti di tensione o stress uniassiali., La teoria dell’energia di distorsione massima, tuttavia, è nata quando è stato osservato che i materiali, specialmente quelli duttili, si comportavano in modo diverso quando veniva applicata una tensione non semplice o una tensione non uniassiale, esibendo valori di resistenza molto più grandi di quelli osservati durante semplici esperimenti di tensione. È stata quindi sviluppata una teoria che coinvolge il tensore di stress completo.

Lo stress di von Mises è un criterio per la resa, ampiamente utilizzato per metalli e altri materiali duttili.,bstituted in prima espressione:

$$ \frac{1}{6}=\frac{S_y^2}{3} \tag{4}$$

o, infine,

$$ \sqrt{\frac{(\tau_{11}-\tau_{22})^2 + (\tau_{22}-\tau_{33})^2 + (\tau_{33}-\tau_{11})^2 + 6(\tau^2_in{12}+\tau^2_in{23}+\tau^2_{13})}{2}}=S_y \tag{5}$$

La sollecitazione von Mises, \(\tau_v\), è definita come:

$$ \tau_v^2=3k^2 \tag{6}$$

Quindi, von Mises criterio di snervamento è anche comunemente riscritto come:

$$ \tau_v\geq{S_y} \tag{7}$$

Che è, se il von Mises stress è maggiore del semplice tensione limite di snervamento stress, quindi il materiale è previsto per la resa.,

Lo stress di von Mises non è un vero stress. Si tratta di un valore teorico che permette il confronto tra la sollecitazione tridimensionale generale con il limite di resa della sollecitazione uniassiale.

Il criterio di rendimento di von Mises è anche noto come criterio di rendimento ottaedrico\(^5\). Ciò è dovuto al fatto che lo sforzo di taglio che agisce sui piani ottaedrici (cioè,oct} \tag{8}$$

Che, per il caso di monoassiale o di tensione semplice, si semplifica in:

$$ \frac{\sqrt2}{3}\tau_y=\tau_{ott} \tag{9}$$

di Nuovo, se \(\tau_y\) raggiunge la semplice tensione limite elastico, \(S_y\), quindi al di sopra di espressione diventa:

$$ \frac{\sqrt2}{3}S_y=\tau_{ott} \tag{10}$$

E, applicando il ottaedrica stress espressione:

$$ \sqrt{\frac{(\tau_1-\tau_2)^2 + (\tau_2-\tau_3)^2 + (\tau_3-\tau_1)^2}{2}}=S_y \tag{11}$$

Simile per il risultato ottenuto e per la sollecitazione von Mises, questo definisce un criterio basato sulla ottaedrica stress., Di conseguenza, se lo stress ottaedrico è maggiore del limite di resa dello stress semplice, si prevede che si verifichi la resa.

Lo stress di von Mises può, ad esempio, essere applicato in campi come la perforazione di serbatoi di idrocarburi, dove si prevede che i tubi siano sottoposti ad alta pressione e condizioni di carico combinate. In questo caso, il von Mises stress può essere scritto come\(^5\):

$$ \sqrt{\frac{(\tau_z-\tau_t)^2 + (\tau_t-\tau_r)^2 + (\tau_r-\tau_z)^2}{2}}=\tau_v \tag{12}$$

Dove \(z\), \(r\), e \(t\) sono assiali, radiali e tangenziali., Il criterio è lo stesso di prima, cioè se la tensione di von Mises ottenuta dall’espressione sopra è uguale o maggiore della semplice tensione di snervamento del materiale, si prevede che si verifichi un cedimento.

Criterio di resa di Tresca

Il criterio di resa di Tresca è un altro esempio di criterio comune utilizzato per determinare la massima sollecitazione del materiale prima di cedere. Il calcolo del rendimento con il metodo di Tresca porta sempre ad un risultato inferiore rispetto al metodo di von Mises. È comunemente noto come una stima più conservativa sul fallimento all’interno della comunità scientifica., Inoltre, è noto come criterio di resa massima dello sforzo di taglio\(^4\). L’espressione più generale per la massima sollecitazione di taglio è:

$ $ =0 \tag{13}

Questo criterio può essere semplificato quando si conosce l’ordine della grandezza dei componenti di sollecitazione. L’espressione precedente si riduce quindi a:

$ $ (\tau_1-\tau_3)^2-(S_y)^2=0 \tag{14}

Il criterio di rendimento di Tresca è lineare a tratti, mentre il criterio di rendimento di von Mises è non lineare. Tuttavia, la superficie di resa di Tresca può comportare singolarità., Le differenze nelle previsioni tra le due condizioni sono considerevolmente piccole.

Von Mises Stress su SimScale

Ci sono molti campi che beneficiano del criterio di rendimento di von Mises. Ci sono progetti pubblici SimScale che possono aiutare a ottenere una comprensione più pratica della teoria dello stress von Mises. Ad esempio, l’immagine qui sotto mostra uno studio dello stress von Mises su una piastra di montaggio sottoposta a un certo carico.,

L’immagine qui sotto è tratta da un tutorial passo-passo che mostra un’analisi strutturale e plasticità per lo scoppio di un serbatoio di gas ed è una risorsa interessante per i principianti.,

Ultimo aggiornamento: 20 gennaio 2021