Onde circolari generate dalla diffrazione dall’ingresso stretto di una cava costiera allagata
Una gloria solare a vapore da sorgenti calde. Una gloria è un fenomeno ottico prodotto dalla luce backscattered (una combinazione di diffrazione, riflessione e rifrazione) verso la sua fonte da una nuvola di goccioline d’acqua di dimensioni uniformi.
Gli effetti della diffrazione sono spesso visti nella vita di tutti i giorni., Gli esempi più eclatanti di diffrazione sono quelli che coinvolgono la luce; ad esempio, le tracce ravvicinate su un CD o DVD agiscono come una griglia di diffrazione per formare il modello arcobaleno familiare visto quando si guarda un disco. Questo principio può essere esteso per progettare una griglia con una struttura tale da produrre qualsiasi modello di diffrazione desiderato; l’ologramma su una carta di credito è un esempio. La diffrazione nell’atmosfera da parte di piccole particelle può far sì che un anello luminoso sia visibile attorno a una sorgente luminosa come il sole o la luna., Un’ombra di un oggetto solido, usando la luce di una sorgente compatta, mostra piccole frange vicino ai suoi bordi. Il modello di macchiolina che si osserva quando la luce laser cade su una superficie otticamente ruvida è anche un fenomeno di diffrazione. Quando la carne deli sembra essere iridescente, cioè diffrazione dalle fibre di carne. Tutti questi effetti sono una conseguenza del fatto che la luce si propaga come un’onda.
La diffrazione può verificarsi con qualsiasi tipo di onda. Onde oceaniche diffract intorno pontili e altri ostacoli., Le onde sonore possono diffrattare intorno agli oggetti, motivo per cui si può ancora sentire qualcuno che chiama anche quando si nasconde dietro un albero.La diffrazione può anche essere una preoccupazione in alcune applicazioni tecniche; imposta un limite fondamentale alla risoluzione di una fotocamera, un telescopio o un microscopio.
Altri esempi di diffrazione sono considerati di seguito.
Diffrazione a fessura singola
Approssimazione numerica del pattern di diffrazione da una fessura di larghezza di quattro lunghezze d’onda con un’onda piana incidente., Il fascio centrale principale, i null e le inversioni di fase sono evidenti.
Grafico e immagine della diffrazione a fessura singola.
Una lunga fessura di larghezza infinitesimale che è illuminata dalla luce diffratta la luce in una serie di onde circolari e il fronte d’onda che emerge dalla fessura è un’onda cilindrica di intensità uniforme, secondo il principio di Huygens–Fresnel.
Una fessura più larga di una lunghezza d’onda produce effetti di interferenza nello spazio a valle della fessura., Questi possono essere spiegati supponendo che la fessura si comporti come se avesse un gran numero di sorgenti puntiformi distanziate uniformemente sulla larghezza della fessura. L’analisi di questo sistema è semplificata se consideriamo la luce di una singola lunghezza d’onda. Se la luce incidente è coerente, queste sorgenti hanno tutte la stessa fase. L’incidente di luce in un dato punto nello spazio a valle della fessura è costituito da contributi da ciascuna di queste sorgenti puntiformi e se le fasi relative di questi contributi variano di 2π o più, possiamo aspettarci di trovare minimi e massimi nella luce diffratta., Tali differenze di fase sono causate da differenze nelle lunghezze del percorso su cui i raggi che contribuiscono raggiungono il punto dalla fessura.
Possiamo trovare l’angolo al quale si ottiene un primo minimo nella luce diffratta con il seguente ragionamento. La luce proveniente da una sorgente situata sul bordo superiore della fessura interferisce distruttivamente con una sorgente situata al centro della fessura, quando la differenza di percorso tra loro è uguale a λ/2. Allo stesso modo, la sorgente appena sotto la parte superiore della fessura interferirà distruttivamente con la sorgente situata appena sotto il centro della fessura allo stesso angolo., Possiamo continuare questo ragionamento lungo l’intera altezza della fessura per concludere che la condizione di interferenza distruttiva per l’intera fessura è la stessa della condizione di interferenza distruttiva tra due fessure strette a una distanza che è la metà della larghezza della fessura., La differenza di cammino è di circa d peccato ( θ ) 2 {\displaystyle {\frac {d\sin(\theta )}{2}}} in modo che la minima intensità si verifichi in un angolo θmin dato da
d peccato q min = λ {\displaystyle d\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda }
dove
Un argomento simile può essere utilizzato per mostrare che, se si immagina la fessura per essere diviso in quattro, sei, otto parti, etc., i minimi sono ottenuti agli angoli θn dati da
d sin sin θ n = n λ {\displaystyle d\,\sin \theta _{n}=n\lambda}
dove
- n è un numero intero diverso da zero.,
Non esiste un argomento così semplice che ci permetta di trovare i massimi del pattern di diffrazione. Il profilo di luminosità può essere calcolata utilizzando la diffrazione di Fraunhofer equazione
I ( θ ) = I 0 sinc 2 ( d π λ peccato θ ) {\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {f} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right)}
dove
Questa analisi si applica solo per il campo lontano (diffrazione di Fraunhofer), che è a una distanza molto maggiore della larghezza della fessura.,
Dall’intensità del profilo di cui sopra, se d ≪ λ {\displaystyle d\ll \lambda } , l’intensità ha poca dipendenza θ {\displaystyle \theta } , da cui il fronte d’onda emergenti dalla fessura sarebbe simile a un’onda cilindrica con simmetria azimutale; Se d ≫ λ {\displaystyle d\gg \lambda } , solo θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \ca 0} sarebbe apprezzabile intensità, di conseguenza, il fronte d’onda emergenti dalla fessura sarebbe simile a quella dell’ottica geometrica.,
I ( θ ) = I 0 sinc 2 {{\displaystyle I(\theta )=I_ {0}\,\operatorname{sinc} ^{2}\left}
La scelta del segno più/meno dipende dalla definizione dell’angolo incidente θ i {\displaystyle \theta _{\text {i}}} .
diffrazione a 2 fenditure (in alto) e a 5 fenditure della luce laser rossa
Diffrazione di un laser rosso mediante griglia di diffrazione.,
Un pattern di diffrazione di 633 nm laser attraverso una griglia di 150 feritoie
Diffrazione gratingEdit
Un reticolo di diffrazione è un componente ottico con uno schema regolare. La forma della luce diffratta da una griglia dipende dalla struttura degli elementi e dal numero di elementi presenti, ma tutte le griglie hanno massimi di intensità agli angoli θm che sono dati dall’equazione della griglia
d ( sin θ θ m ± sin θ θ i ) = m λ ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .}
dove
- θi è l’angolo in cui la luce è incidente,
- d è la separazione degli elementi reticolari e
- m è un numero intero che può essere positivo o negativo.
La luce diffratta da una griglia si trova sommando la luce diffratta da ciascuno degli elementi, ed è essenzialmente una convoluzione di modelli di diffrazione e interferenza.,
La figura mostra la luce diffratta da griglie a 2 elementi e 5 elementi dove gli spazi della griglia sono gli stessi; si può vedere che i massimi sono nella stessa posizione, ma le strutture dettagliate delle intensità sono diverse.
Un’immagine generata dal computer di un disco Arioso.
Modello di diffrazione della luce generato dal computer da un’apertura circolare di diametro 0,5 micrometri a una lunghezza d’onda di 0,6 micrometri (luce rossa) a distanze di 0,1 cm-1 cm a passi di 0,1 cm., Si può vedere l’immagine che si muove dalla regione di Fresnel nella regione di Fraunhofer dove si vede il modello arioso.
Apertura circolareedit
La diffrazione del campo lontano di un incidente di onda piana su un’apertura circolare viene spesso definita Disco Airy., La variazione di intensità con angolo è dato da
I ( θ ) = I 0 ( 2 J 1 ( k un peccato θ ) k un peccato θ ) 2 {\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}}
dove a è il raggio dell’apertura circolare, k è uguale a 2π/λ e J1 è una funzione di Bessel. Più piccola è l’apertura, maggiore è la dimensione del punto ad una data distanza e maggiore è la divergenza delle travi diffratte.,
Generale apertureEdit
L’onda che emerge da una sorgente puntiforme ha ampiezza ψ {\displaystyle \psi } in posizione r, che è dato dalla soluzione di dominio della frequenza dell’equazione d’onda per un punto di origine (L’Equazione di Helmholtz),
∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} )}
dove δ ( r ) {\displaystyle \delta (\mathbf {r} )} è un 3-dimensionale funzione delta. La funzione delta ha solo dipendenza radiale, quindi l’operatore di Laplace (alias,il sistema semplifica (vedi del in coordinate cilindriche e sferiche)
∇ 2 ψ = 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )}
sostituzione diretta, la soluzione di questa equazione può essere facilmente dimostrato di essere scalare la funzione di Green, che nel sistema di coordinate sferiche (e la fisica in tempo convention e − ho ω t {\displaystyle e^{-i\omega t}} ) è:
ψ ( r ) = e k, r 4 π r {\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}}
Questa soluzione presuppone che la funzione di delta sorgente si trova all’origine.,athbf {r} ‘=x’\mathbf {\hat {x}} +y’\mathbf {\hat {y}} }
Nel campo lontano, in cui i raggi paralleli approssimazione può essere utilizzato, la funzione di Green,
ψ ( r | r ‘) = e i k | r − r ‘| 4 π | r − r ‘ | {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ‘)={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} ‘|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} ‘|}}}
si semplifica a
ψ ( r | r ‘ ) = e k, r 4 π r e − i k ( r ⋅ r ^ ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ‘)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} ‘\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}
come si può vedere nella figura a destra (clicca per ingrandire)., {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }
l’espressione per il Fraunhofer regione campo da un planare diaframma diventa ora,
Ψ ( r ) ∝ r i k r 4 π r ∬ a p e r t u r e e i n c ( x ‘, y ‘) e − i k peccato θ ( cos x ϕ ‘+ sin ϕ y ‘) d x d y ‘ {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limita _{\mathrm {diaframma} }E_{\mathrm {inc} }(x’,y’)e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x’+\sin \phi y’)}\,dx\,dy’}
Locazione
k x = k peccato θ cos ϕ {\displaystyle k_{x}=k\sin \theta \cos \phi \,\!, E ‘ il momento giusto per iniziare a lavorare.!}
il Fraunhofer regione di campo delle piane di apertura assume la forma di una trasformata di Fourier
Ψ ( r ) ∝ e i k r 4 π r ∬ a p e r t u r e e i n c ( x ‘, y ‘) e − i ( k x x + k y y ‘) d x d y’,, {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limita _{\mathrm {diaframma} }E_{\mathrm {inc} }(x’,y’)e^{-i(k_{x}x’+k_{y}y’)}\,dx\,dy’,}
Nel campo / Fraunhofer regione, questo diventa spaziale trasformata di Fourier del diaframma di distribuzione., Il principio di Huygens quando applicato a un’apertura dice semplicemente che il modello di diffrazione del campo lontano è la trasformata spaziale di Fourier della forma dell’apertura, e questo è un sottoprodotto diretto dell’uso dell’approssimazione dei raggi paralleli, che è identica a fare una decomposizione dell’onda piana dei campi del piano dell’apertura (vedi Ottica di Fourier).
Propagazione di un raggio lasermodifica
Il modo in cui il profilo del raggio di un raggio laser cambia man mano che si propaga è determinato dalla diffrazione., Quando l’intero fascio emesso ha un fronte d’onda planare e spazialmente coerente, si avvicina al profilo del fascio gaussiano e ha la divergenza più bassa per un dato diametro. Più piccolo è il raggio di uscita, più velocemente diverge. È possibile ridurre la divergenza di un raggio laser prima espandendolo con una lente convessa e poi collimandolo con una seconda lente convessa il cui punto focale è coincidente con quello della prima lente. Il raggio risultante ha un diametro maggiore e quindi una divergenza inferiore., La divergenza di un raggio laser può essere ridotta al di sotto della diffrazione di un raggio gaussiano o addirittura invertita alla convergenza se l’indice di rifrazione del mezzo di propagazione aumenta con l’intensità della luce. Ciò può comportare un effetto di auto-messa a fuoco.
Quando il fronte d’onda del fascio emesso presenta perturbazioni, solo la lunghezza di coerenza trasversale (dove la perturbazione del fronte d’onda è inferiore a 1/4 della lunghezza d’onda) deve essere considerata come un diametro del fascio gaussiano quando si determina la divergenza del raggio laser., Se la lunghezza trasversale della coerenza nella direzione verticale è superiore a quella orizzontale, la divergenza del raggio laser sarà inferiore nella direzione verticale rispetto all’orizzontale.
Diffraction-limited imagingEdit
La capacità di un sistema di imaging di risolvere i dettagli è in definitiva limitata dalla diffrazione., Questo perché un incidente onda piana su una lente circolare o specchio è diffratta come descritto sopra. La luce non è focalizzata in un punto ma forma un disco Arioso avente un punto centrale nel piano focale il cui raggio (misurato al primo nullo) è
Δ x = 1.22 λ N {\displaystyle \Delta x=1.22\lambda N}
dove λ è la lunghezza d’onda della luce e N è il numero f (lunghezza focale f divisa per diametro di apertura D) dell’ottica di imaging; questo è strettamente accurato per N 1 1 (caso parassiale). Nello spazio oggetto, la corrispondente risoluzione angolare è
θ ≈ sin θ θ = 1.,22 λ D, {\displaystyle \ theta \ approx \ sin \ theta =1.22 {\frac {\lambda} {D}},\,}
dove D è il diametro della pupilla di ingresso della lente di imaging (ad esempio, dello specchio principale di un telescopio).
Due sorgenti puntiformi produrranno ciascuna un modello Arioso – vedi la foto di una stella binaria. Man mano che le sorgenti puntuali si avvicinano, i pattern inizieranno a sovrapporsi e alla fine si uniranno per formare un unico pattern, nel qual caso le due sorgenti puntuali non possono essere risolte nell’immagine., Il criterio di Rayleigh specifica che due sorgenti puntiformi sono considerate “risolte” se la separazione delle due immagini è almeno il raggio del disco Airy, cioè se il primo minimo di uno coincide con il massimo dell’altro.
Quindi, maggiore è l’apertura dell’obiettivo rispetto alla lunghezza d’onda, più fine è la risoluzione di un sistema di imaging. Questo è uno dei motivi per cui i telescopi astronomici richiedono grandi obiettivi e perché gli obiettivi dei microscopi richiedono una grande apertura numerica (grande diametro dell’apertura rispetto alla distanza di lavoro) per ottenere la massima risoluzione possibile.,
Speckle patternsEdit
Il pattern speckle che si vede quando si utilizza un puntatore laser è un altro fenomeno di diffrazione. È il risultato della sovrapposizione di molte onde con diverse fasi, che vengono prodotte quando un raggio laser illumina una superficie ruvida. Si sommano per dare un’onda risultante la cui ampiezza, e quindi intensità, varia in modo casuale.,
Principio di Babinetedit
Il principio di Babinet è un teorema utile che afferma che il modello di diffrazione da un corpo opaco è identico a quello da un foro della stessa dimensione e forma, ma con intensità diverse. Ciò significa che le condizioni di interferenza di una singola ostruzione sarebbero le stesse di quelle di una singola fessura.
