Distribuzione di Weibull e Analisi Weibull

Distribuzioni di Probabilità > Distribuzione di Weibull e di Analisi

Contenuto:

1. Qual è la distribuzione di Weibull?
2. PDF di Weibull
3. La famiglia Weibull
4. Analisi di Weibull

Qual è la distribuzione di Weibull?,

La distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua che prende il nome dal matematico svedese Waloddi Weibull. Originariamente propose la distribuzione come modello per la resistenza alla rottura del materiale, ma riconobbe il potenziale della distribuzione nel suo articolo del 1951 A Statistical Distribution Function of Wide Applicability. Oggi è comunemente usato per valutare l’affidabilità del prodotto, analizzare i dati di vita e i tempi di guasto del modello. Il Weibull può anche adattarsi a una vasta gamma di dati provenienti da molti altri campi, tra cui: biologia, economia, scienze ingegneristiche e idrologia (Rinne, 2008).,

Sebbene sia estremamente utile nella maggior parte dei casi, Weibull non è un modello appropriato per ogni situazione. Ad esempio, le reazioni chimiche e i guasti alla corrosione sono solitamente modellati con la distribuzione lognormale.

Distribuzione di Weibull PDF

Due versioni della funzione di densità di probabilità di Weibull (pdf) sono di uso comune: il pdf a due parametri e il pdf a tre parametri. Diversi autori usano notazione diversa, il che rende la notazione un po ‘ confusa se stai guardando testi diversi., Ad esempio, l’Engineering Statistics Handbook utilizza gamma(γ) per rappresentare il parametro shape, mentre altri autori (ad esempio Fritz Scholz, scrivendo per Boeing) usano beta (β). Ho incluso le diverse notazioni che ho trovato nelle informazioni pdf qui sotto. Se trovate di più, non esitate a farmelo sapere lasciando un commento sulla nostra pagina Facebook.

Per chiarezza, resto con la stessa notazione per tutte le formule: γ per il parametro shape, x come variabile e μ per il parametro location.,

Tre parametri Weibull

La formula per la funzione di densità di probabilità della distribuzione generale di Weibull a tre parametri è:

Dove:

• γ è il parametro di forma (noto anche come pendenza di Weibull o parametro di soglia). Nota: alcuni autori usano β, m o k.
• α è il parametro di scala, chiamato anche il parametro di vita caratteristico. Nota: alcuni autori usano invece c, ν o η. Ho trovato un singolo testo (Glantz & Kissell, 2013) usando γ.,
• μ è il parametro di posizione, chiamato anche il parametro del tempo di attesa o talvolta il parametro shift. Nota: μ il tempo di guasto, non è incluso nella versione a due parametri.

Quando μ = 0 e α = 1, la formula per il pdf si riduce a:

che è la distribuzione standard di Weibull.,

Due parametri Weibull

La formula è praticamente identica ai tre parametri Weibull, tranne che μ non è incluso:

I due parametri Weibull sono spesso usati nell’analisi dei guasti, perché nessun errore può verificarsi prima del tempo zero. Se conosci μ, il momento in cui si verifica l’errore, puoi sottrarlo da x (cioè tempo t). Pertanto, quando si passa dalla versione a due parametri a quella a tre parametri, tutto ciò che si deve fare è sostituire ogni istanza di x con (x – μ).,

Gamma e tassi di fallimento

Il valore del parametro shape (γ) determina i tassi di fallimento:

• Se gamma è inferiore a 1, il tasso di fallimento diminuisce con il tempo (cioè il processo ha un gran numero di guasti infantili o precoci e meno guasti con il passare del tempo).
• Per γ = 1: il tasso di fallimento è costante, il che significa che è indicativo di vita utile o guasti casuali.
• If γ> 1: il tasso di guasto aumenta con il tempo (cioè i guasti di usura dei modelli di distribuzione, che tendono a verificarsi dopo un certo tempo).,

EVD Type III

Sotto alcuni parametri specifici, il Wiebull è un esempio di EVD (Extreme Value Distribution) ed è talvolta chiamato EVD Type III. I valori estremi sono punti dati che sono molto alti, o molto bassi, rispetto agli altri punti dell’insieme; Questi valori si trovano nelle code di una distribuzione. Gli EVD sono le distribuzioni limitanti per questi valori. Gli altri due EVD sono la distribuzione Gumbel (EVD tipo I) e la distribuzione Fréchet (EVD Tipo II).,

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La famiglia Weibull

La distribuzione Weibull è una famiglia di distribuzioni che può assumere molte forme, a seconda dei parametri scelti.

Le distribuzioni di Weibull sopra includono due distribuzioni esponenziali (riga superiore), una distribuzione inclinata a destra (in basso a sinistra) e una distribuzione simmetrica (in basso a destra). La distribuzione esponenziale è un caso speciale della distribuzione di Weibull, che si verifica quando il parametro di forma di Weibull è uguale a 1.,

La modifica dei parametri di Weibull modifica anche la forma della distribuzione.

La modifica di α, il parametro scale, non modifica il tipo di forma, ma allunga la forma esistente. Se gli altri due parametri sono mantenuti uguali:

• Aumentando α il grafico viene allungato a destra. L’altezza diminuirà.
• Diminuendo α il grafico viene ridotto a sinistra (verso zero). L’altezza aumenterà.,

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Analisi di Weibull

L’analisi di Weibull consiste nell’utilizzare la distribuzione di Weibull (e talvolta il lognormal) per studiare l’analisi dei dati di vita — l’analisi del tempo fino al fallimento. Ad esempio, l’analisi Weibull può essere utilizzata per studiare:

• La durata di vita di impianti medici e dentali,
• Componenti prodotti in fabbrica (come cuscinetti, condensatori o dialettica),
• Analisi della garanzia,
• Servizi di utilità,
• Altre aree in cui il time-to-failure è importante.,

L’analisi non è limitata alla produzione; è applicabile anche alla fase di progettazione e al tempo di servizio.

In passato, le tecniche per eseguire l’analisi di Weibull a mano erano noiose e lunghe. Il processo è stato ora sostituito da programmi software statistici ed è oggi la tecnica più utilizzata per analizzare i dati di vita nel mondo.

I principali vantaggi dell’utilizzo di Weibull analysis sono che può essere utilizzato per analizzare vite con campioni molto piccoli., Produce anche una trama facile da capire.

L’asse orizzontale su un grafico di Weibull mostra parametri di durata o invecchiamento come chilometraggio, tempi di funzionamento o cicli di utilizzo. L’asse verticale mostra guasti percentuali cumulativi (totale additivo).

L’analisi include:

• Previsione quando saranno necessari pezzi di ricambio.
• Attuazione di un piano di azioni correttive.
• Pianificazione della manutenzione e strategie di sostituzione convenienti.
• Tracciare e interpretare i dati.
• Previsione degli errori.,

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