Definizione di Equazione Differenziale Omogenea
con Un primo ordine di equazione differenziale
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si chiama equazione omogenea, se il lato destro soddisfa la condizione
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per tutti \(t.,\) In altre parole, il lato destro è una funzione omogenea (rispetto alle variabili \(x\) e \(y\)) di ordine zero:
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Una omogenea differenziale equazione può essere scritta nella forma:
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o, in alternativa, in forma differenziale:
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dove \(P\left( {x,y} \right)\) e \(Q\left( {x,y} \right)\) sono funzioni omogenee di grado stesso.,
Definizione di funzione omogenea
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Risoluzione di equazioni differenziali omogenee
Un’equazione omogenea può essere risolta per sostituzione \(y = ux,\) che porta ad un’equazione differenziale separabile.
Un’equazione differenziale di tipo
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viene convertita in un’equazione separabile spostando l’origine del sistema di coordinate nel punto di intersezione delle linee rette date., Se queste linee rette sono parallele, l’equazione differenziale viene trasformata in equazione separabile utilizzando il cambiamento di variabile:
\
Problemi risolti
Fare clic o toccare un problema per vedere la soluzione.
Esempio 1.
Risolvi l’equazione differenziale \(\left( {2x + y} \right)dx \) \(- xdy = 0.\ )
Soluzione.
Supponiamo che \(y = ux,\) dove\ (u\) sia una nuova funzione a seconda di \ (x.,\) Allora
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Sostituendo nella equazione differenziale, si ottiene
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Quindi
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Dividere entrambi i lati da \(x\), si ottiene:
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Integrare l’ultima espressione di ottenere:
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dove \(C\) è una costante di integrazione.
Tornando ai vecchi variabile \(y\), possiamo scrivere:
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Così, l’equazione ha due soluzioni:
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