Nota: la convenzione di sommatoria di Einstein di sommare su indici ripetuti è usata di seguito.
Materiali isotropimodifica
I materiali isotropi sono caratterizzati da proprietà indipendenti dalla direzione nello spazio. Le equazioni fisiche che coinvolgono materiali isotropi devono quindi essere indipendenti dal sistema di coordinate scelto per rappresentarli. Il tensore di deformazione è un tensore simmetrico., Poiché la traccia di qualsiasi tensore è indipendente da qualsiasi sistema di coordinate, la decomposizione senza coordinate più completa di un tensore simmetrico è rappresentarla come la somma di un tensore costante e di un tensore simmetrico senza traccia. Così nell’indice notazione:
ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}
dove δij è il delta di Kronecker., In diretta tensore di notazione:
ε = vol ( ε ) + dev ( ε ) ; vol ( ε ) = 1 3 tr ( ε ) I ; dev ( ε ) = ε − vol ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
dove I è il secondo ordine di identità del tensore.,
Il primo termine a destra è il tensore costante, noto anche come tensore di deformazione volumetrica, e il secondo termine è il tensore simmetrico senza traccia, noto anche come tensore di deformazione deviatorica o tensore di taglio.,>La forma più generale della legge di Hooke per i materiali isotropi possono ora essere scritto come combinazione lineare di questi due tensori:
σ i = j 3 K ( 1 ε 3 k k δ i j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) ; s = 3 K vol ( ε ) + 2 G dev ( ε ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
dove K è il modulo di compressibilità e G è il modulo di taglio.,
Usando le relazioni tra i moduli elastici, queste equazioni possono anche essere espresse in vari altri modi.,in forma di legge di Hooke per i materiali isotropi, espressa in diretta tensore di notazione, è
σ = λ tr ( ε ) I + 2 μ ε = c : e ; c = λ ho ⊗ I + 2 μ I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}
dove λ = K − 2/3G = c1111 − 2c1212 e µ = G = c1212 sono le costanti di Lamé, io è il secondo rango di identità del tensore, e io è la parte simmetrica del quarto rango di identità del tensore.,j − s j ) ) ; ε = 1 E ( σ − ν ( tr ( σ ) I − s ) ) = 1 + ν E σ − ν E tr ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
Questa è la forma in cui la tensione è espressa in termini del tensore di sforzo in ingegneria.,1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}
where E is Young’s modulus and ν is Poisson’s ratio., (Vedi elasticità 3D).,div>0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
where γij = 2εij is the engineering shear strain.,>\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}
dove I è l’identità del tensore.,
Stress sul pianomodifica
In condizioni di stress sul piano, S31 = S13 = S32 = S23 = S33 = 0.,n _{22}\right)\right)}
La relazione inversa è di solito scritto in forma ridotta
= 1 E {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
Piano strainEdit
Sotto il piano di sollecitazione, ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0.,begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
Anisotropico materialsEdit
La simmetria del tensore degli sforzi di Cauchy (σij = σji) e la generalizzata di Hooke leggi (σij = cijklekl) implica che cijkl = cjikl., Allo stesso modo, la simmetria del tensore di deformazione infinitesimale implica che cijkl = cijlk. Queste simmetrie sono chiamate simmetrie minori del tensore di rigidità c. Questo riduce il numero di costanti elastiche da 81 a 36.
Se, in aggiunta, in quanto lo spostamento di gradiente e di Cauchy stress lavoro coniugato, il legame costitutivo può essere derivato da un ceppo di energia del funzionale della densità (U), quindi
σ i = j ∂ U ∂ ε i j ⟹ c i j k l = ∂ 2 U ∂ ε i j ∂ σ k l ., {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \comporta \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}
L’arbitrarietà dell’ordine di differenziazione implica che cijkl = cklij. Queste sono chiamate le principali simmetrie del tensore di rigidità. Questo riduce il numero di costanti elastiche da 36 a 21. Le simmetrie maggiori e minori indicano che il tensore di rigidità ha solo 21 componenti indipendenti.,
Rappresentazione della matrice (tensore di rigidezza)Modifica
È spesso utile esprimere la forma anisotropica della legge di Hooke nella notazione della matrice, chiamata anche notazione di Voigt.,>C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}
and Hooke’s law is written as
= or σ i = C i j ε j ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,v>S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}
Cambiamento di coordinate systemEdit
Se un elastico lineare del materiale è ruotato da una configurazione di riferimento a un altro, successivamente il materiale è simmetrica rispetto alla rotazione se i componenti della rigidità tensore in ruotato di configurazione sono correlati a componenti della configurazione di riferimento dalla relazione
c p q r s = l p i l q j l r l s l c i j k l {\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}
dove lab sono i componenti di una matrice di rotazione ortogonale ., La stessa relazione vale anche per le inversioni.
In notazione matriciale, se la base trasformata (ruotata o invertita) è correlata alla base di riferimento da
= {\displaystyle=}
allora
C i j ε i ε j = C i j ‘ε i’ ε j ‘ . {\displaystyle C_{ij} \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j}=C_{ij}’\varepsilon ‘_ {i} \ varepsilon ‘ _ {j}\,.}
Inoltre, se il materiale è simmetrico rispetto alla trasformazione allora
C i j = C i j ‘C C i j ( ε i ε j − ε i ‘ε j’ ) = 0 ., {\displaystyle C_{ij}=C’_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j})=0\,.}
Orthotropic materialsEdit
Orthotropic materials have three orthogonal planes of symmetry.,>{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
dove
Ei è il modulo di Young lungo l’asse ho Gij è il modulo di taglio in direzione j sul piano la cui normale è nella direzione che ho vij è il coefficiente di Poisson, che corrisponde a una contrazione nella direzione j quando un interno è applicata nella direzione che ho.,
In condizioni di stress piano, σzz = σzx = σyz = 0, la legge di Hooke per un materiale ortotropico assume la forma
= ., {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
The inverse relation is
= 1 1 − ν x y ν y x ., {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
The transposed form of the above stiffness matrix is also often used.,
Materiali isotropi trasversalimodifica
Un materiale isotropico trasversale è simmetrico rispetto ad una rotazione attorno ad un asse di simmetria.,d=”83bec78907″>0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
Universal elastic anisotropy indexEdit
To grasp the degree of anisotropy of any class, a universal elastic anisotropy index (AU) was formulated., Sostituisce il rapporto Zener, che è adatto per cristalli cubici.
