Come notato sopra, nella logica aristotelica una proposizione è un particolare tipo di frase, una che afferma o nega un predicato di un soggetto con l’aiuto di una copula. Le proposizioni aristoteliche prendono forme come” Tutti gli uomini sono mortali “e” Socrate è un uomo.”
Le proposizioni si presentano nella logica formale moderna come oggetti di un linguaggio formale. Un linguaggio formale inizia con diversi tipi di simboli. Questi tipi possono includere variabili, operatori, simboli di funzione, simboli di predicato (o relazione), quantificatori e costanti proposizionali., (I simboli di raggruppamento come i delimitatori vengono spesso aggiunti per comodità nell’uso della lingua, ma non svolgono un ruolo logico.) I simboli sono concatenati insieme secondo regole ricorsive, al fine di costruire stringhe a cui verranno assegnati valori di verità. Le regole specificano come gli operatori, i simboli di funzione e predicato e i quantificatori devono essere concatenati con altre stringhe. Una proposizione è quindi una stringa con una forma specifica. La forma che una proposizione assume dipende dal tipo di logica.,
Il tipo di logica chiamata logica proposizionale, sentenziale o statement include solo operatori e costanti proposizionali come simboli nel suo linguaggio. Le proposizioni in questo linguaggio sono costanti proposizionali, che sono considerate proposizioni atomiche, e proposizioni composte (o composte), che sono composte applicando ricorsivamente operatori alle proposizioni. L’applicazione qui è semplicemente un breve modo per dire che è stata applicata la regola di concatenazione corrispondente.,
I tipi di logiche chiamate predicato, quantificazionale o logica di ordine n includono variabili, operatori, simboli di predicato e funzione e quantificatori come simboli nelle loro lingue. Le proposizioni in queste logiche sono più complesse. In primo luogo, si inizia tipicamente definendo un termine come segue:
- Una variabile, o
- Un simbolo di funzione applicato al numero di termini richiesti dall’arità del simbolo della funzione.
Ad esempio, se + è un simbolo di funzione binaria e x, y e z sono variabili, allora x+(y+z) è un termine, che potrebbe essere scritto con i simboli in vari ordini., Una volta definito un termine, una proposizione può quindi essere definita come segue:
- Un simbolo di predicato applicato al numero di termini richiesti dalla sua arità, o
- Un operatore applicato al numero di proposizioni richieste dalla sua arità, o
- Un quantificatore applicato a una proposizione.
In questo contesto, le proposizioni sono anche chiamate frasi, dichiarazioni, forme di dichiarazione, formule e formule ben formate, sebbene questi termini non siano solitamente sinonimi all’interno di un singolo testo. Questa definizione tratta proposizioni come oggetti sintattici, al contrario di oggetti semantici o mentali., Cioè, le proposizioni in questo senso sono oggetti privi di significato, formali, astratti. Essi sono assegnati significato e verità-valori da mappature chiamati interpretazioni e valutazioni, rispettivamente.
In matematica, le proposizioni sono spesso costruite e interpretate in un modo simile a quello della logica dei predicati—anche se in un modo più informale. Biru. un assioma può essere concepito come una proposizione nel senso sciolto della parola, anche se il termine è solitamente usato per riferirsi a una dichiarazione matematica provata la cui importanza è generalmente neutrale per natura., In altri termini simili in questa categoria includono:
- Teorema (una comprovata dichiarazione matematica di notevole importanza)
- Lemma (una comprovata dichiarazione matematica, la cui importanza deriva dal teorema di esso mira a dimostrare)
- Corollario (una comprovata dichiarazione matematica, la cui verità segue subito da un teorema).
Le proposizioni sono chiamate proposizioni strutturate se hanno costituenti, in senso lato.,
Assumendo una visione strutturata delle proposizioni, si possono distinguere tra proposizioni singolari (anche proposizioni russelliane, dal nome di Bertrand Russell) che riguardano un particolare individuo, proposizioni generali, che non riguardano un particolare individuo, e proposizioni particolarizzate, che riguardano un particolare individuo ma non contengono quell’individuo come costituente.
