Il segno radicale può essere uno dei simboli matematici dall’aspetto estraneo, ma il suo aspetto strano non dovrebbe ingannare nessuno. Il segno radicale ha un significato diretto.
Il segno che viene utilizzato quando si trova la radice quadrata o la radice cubica, , è chiamato il segno radicale. Un segno radicale senza numero di indice scritto nella tacca indica una radice quadrata. Una radice quadrata può anche essere scritta con un indice di, ma di solito il 2 è inteso piuttosto che espressamente scritto., Un segno radicale con un indice di 3 è scritto come, che indica una radice cubica.
Ad esempio, per calcolare l’area di un quadrato (in cui tutti i lati sono uguali), moltiplicare la lunghezza di un lato s da solo (quadratura), quindi l’area è s 2. Se l’area di un quadrato è nota ma non la lunghezza del lato, l’inverso della quadratura troverà la lunghezza del lato. L’operazione inversa della quadratura è trovare la radice quadrata. Ad esempio, se l’area di un quadrato è 16 ft2 (piedi quadrati), trovare la radice quadrata è in effetti chiedere “quale numero moltiplicato per se stesso, o al quadrato, dà un risultato di 16?,”La radice quadrata di 16 ft2 è o 4 ft, poiché 42 = 16.
Allo stesso modo, supponiamo che una scatola a forma di cubo abbia un volume di 125 cm3 (centimetri cubici). Come si può trovare la lunghezza di un lato, s, senza misurare la scatola? Per trovare il volume di un cubo, s viene moltiplicato da solo tre volte o elevato alla terza potenza, chiamata anche cubatura del lato. Quindi il volume di un cubo con lunghezza laterale s è s 3. L’operazione inversa del cubing è trovare la radice del cubo. Perché 53 = 125, la radice cubica di 125 cm3 è o 5 cm.,
Si può anche trovare la quarta radice, la quinta radice e così via, indicando quale radice cambiando l’indice. Quindi significa trovare la quarta radice e significa trovare la quinta radice. Proprio come prendere la radice quadrata è l’operazione inversa della quadratura, e prendere la radice cubica è l’operazione inversa della cubatura, trovare è l’inverso dell’innalzamento di x alla quarta potenza, e così via.
Guarda l’espressione (la settima radice di x) come esempio. In questa espressione, il numero intero davanti al segno radicale, 7, è noto come indice., Il numero sotto il segno radicale, in questo caso x, è chiamato radicand .
È utile ricordare che di solito viene chiamata radice “quadrata” anziché radice “seconda” e viene chiamata radice “cubo” anziché radice “terza”. Se l’indice di un radicale è maggiore di 3, si dice semplicemente quarta radice, quinta radice e così via.
Quando si risolve l’equazione x 2 = 4, ci sono due soluzioni: 2 e -2. L’espressione ha anche due soluzioni: 2 e -2? No., Sebbene (2)2 = 4 e (-2) 2 = 4, le espressioni matematiche = x e x 2 = 4 non siano equivalenti; cioè, queste due equazioni non hanno lo stesso set di soluzioni. Il set di soluzioni per = x è 2 e il set di soluzioni per x 2 = 4 è 2 e -2.
Per verificare questo, utilizzare una calcolatrice per trovare la radice quadrata di 4. Sulla maggior parte dei calcolatori, la risposta che ottieni sarà semplicemente 2. La calcolatrice è sbagliata? La risposta breve a questa domanda è no. Quando si utilizza il segno radicale, l’espressione è intesa come radice quadrata positiva di 4., Quando si vogliono entrambe le soluzioni di una radice quadrata, il radicale deve avere il simbolo ± davanti ad esso. Quindi,, e e -2.
La risposta a un problema quando si trova una radice quadrata dipende anche dal contesto del problema. Quando si utilizza una radice quadrata per trovare la lunghezza laterale di una tabella quadrata per la quale è nota solo l’area, un valore negativo non ha senso. Un tavolo con una superficie di 16 ft2 non avrebbe una lunghezza laterale di 4 piedi!, Quando si risolvono i problemi usando il segno radicale, scrivere il segno radicale da solo se si desidera solo la radice positiva e scrivere ± davanti a un segno radicale quando entrambe le radici sono desiderate.
Quando si lavora all’interno del sistema dei numeri reali (o dei numeri che possono essere trovati su una linea di numeri reali), trovando radici che hanno un numero pari per l’indice—come radici quadrate, quarta radice, sesta radice e così via—il radicando deve essere maggiore o uguale a 0 per ottenere una risposta che fa parte del sistema dei numeri reali.
Ad esempio, considera l’espressione ., Per risolvere questo, è necessario scoprire quale numero, se moltiplicato da solo, è uguale a -4. Considera questo: 2 × 2 = 4 e -2 × (-2) = 4. Chiaramente non esiste un numero all’interno del sistema di numeri reali che moltiplicato per se stesso equivale a -4. Pertanto, quando si semplifica un radicale che ha un indice pari e un radicando inferiore a 0, la risposta non è definita. Tuttavia, questo non significa che sia impossibile trovare la radice quadrata di -4. Questa radice esiste, ma non è definita all’interno del sistema dei numeri reali.
Che dire di questa soluzione definita nel sistema dei numeri reali?, Per semplificare questo radicale, si deve trovare un numero che moltiplicato per se stesso tre volte uguale a 27. È noto che 33 = 27 perché 3 × 3 × 3 = 27. Che dire di (-3) 3? Perché (-3) × (-3) × (-3) = -27, la radice cubica di -27 è -3. Pertanto, è possibile trovare la radice di un radicand che è inferiore a 0 quando l’indice è un numero dispari (tre, cinque, sette e così via).
I radicali possono anche essere usati per esprimere numeri irrazionali . Un numero irrazionale è uno che non può essere espresso come un rapporto di due numeri interi, come 1/2. Un esempio di un numero irrazionale è ., In forma decimale, si espande in 1.414213562…. Poiché questo numero non può essere scritto come un’azione, e poiché il decimale continua senza ripetere, è spesso meglio usare il radicale per esprimere il numero esattamente come
vedi anche Numbers, Complex; Numbers, Irrazionale; Powers and Exponents.
Max Brandenberger
Bibliografia
Gardner, Martin. La notte è grande: Saggi raccolti 1938-1995. New York: St. Martin’s Griffin, 1996.
Paulos, John Allen. Al di là di Numeracy: Ruminazioni di un uomo numeri. New York: Alfred A. Knopf, 1991.
– – -., Innumeracy: Analfabetismo matematico e le sue conseguenze. New York: Hill e Wang, 1998.
