Risolvere equazioni polinomiali di ordine superiore è un’abilità essenziale per chiunque studi la scienza e la matematica. Tuttavia, capire come risolvere questo tipo di equazioni è piuttosto impegnativo.
In questo articolo, impareremo come risolvere le equazioni cubiche utilizzando diversi metodi come il metodo di divisione, il teorema del fattore e il factoring raggruppando.
Ma prima di entrare in questo argomento, discutiamo cos’è un’equazione polinomiale e cubica.,
Un polinomio è un’espressione algebrica con uno o più termini in cui una costante e una variabile sono separate da un segno di addizione o sottrazione.
La forma generale di un polinomio è axn + bxn-1 + cxn – 2+…. + kx + l, dove ogni variabile ha una costante che lo accompagna come suo coefficiente. I diversi tipi di polinomi includono; binomi, trinomi e quadrinomiali. Esempi di polinomi sono; 3x + 1, x2 + 5xy-ax-2ay, 6×2 + 3x + 2x + 1 ecc.
Un’equazione cubica è un’equazione algebrica di terzo grado.,
La forma generale di una funzione cubica è: f (x) = ax3 + bx2 + cx1 + d. E l’equazione cubica ha la forma di ax3 + bx2 + cx + d = 0, dove a, b e c sono i coefficienti e d è la costante.
Come risolvere equazioni cubiche?
Il modo tradizionale di risolvere un’equazione cubica è di ridurla a un’equazione quadratica e quindi risolverla mediante factoring o formula quadratica.
Come un’equazione quadratica ha due radici reali, un’equazione cubica può avere forse tre radici reali., Ma a differenza dell’equazione quadratica che potrebbe non avere una soluzione reale, un’equazione cubica ha almeno una radice reale.
Le altre due radici potrebbero essere reali o immaginarie.
Ogni volta che ti viene data un’equazione cubica, o qualsiasi equazione, devi sempre organizzarla prima in una forma standard.
Ad esempio, se ti viene dato qualcosa del genere, 3×2 + x – 3 = 2/x, ti riorganizzerai nel modulo standard e lo scriverai come, 3×3 + x2-3x – 2 = 0. Quindi puoi risolverlo con qualsiasi metodo adatto.,
Vediamo alcuni esempi qui sotto per una migliore comprensione:
Esempio 1
Determinare le radici dell’equazione cubica 2×3 + 3×2 – 11x – 6 = 0
Soluzione
Poiché d = 6, i possibili fattori sono 1, 2, 3 e 6.
Ora applica il Teorema del fattore per verificare i possibili valori per tentativi ed errori.
f (1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f (-1) = -2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0
Quindi, x = 2 è la prima radice.
Pertanto, le soluzioni sono x = 2, x = -1 / 2 e x = -3.,
Esempio 2
Trova le radici dell’equazione cubica x3 − 6×2 + 11x – 6 = 0
Soluzione
x3 − 6×2 + 11x – 6
(x – 1) è uno dei fattori.
Dividendo x3 – 6×2 + 11x-6 per (x-1),
⟹ (x – 1) (x2 – 5x + 6) = 0
⟹ (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0
Questa delle soluzioni dell’equazione cubica è x = 1, x = 2 e x = 3.
Esempio 3
Risolvi x3 – 2×2 – x + 2
Soluzione
Fattorizza l’equazione.
x3 – 2×2-x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2)
= (x2 – 1) (x – 2)
= (x + 1) (x – 1) (x – 2)
x = 1, -1 e 2.,
Example 4
Solve the cubic equation x3 – 23×2 + 142x – 120
Solution
First factorize the polynomial.
x3 – 23×2 + 142x – 120 = (x – 1) (x2 – 22x + 120)
But x2 – 22x + 120 = x2 – 12x – 10x + 120
= x (x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
Therefore, x3 – 23×2 + 142x – 120 = (x – 1) (x – 10) (x – 12)
Equate each factor to zero.
x – 1= 0
x = 1
x – 10 = 10
x – 12= 0
x = 12
The roots of the equation are x = 1, 10 and 12.
Example 5
Solve the cubic equation x3 – 6 x2 + 11x – 6 = 0.,
Soluzione
Per risolvere questo problema usando il metodo di divisione, prendi qualsiasi fattore della costante 6;
lascia x = 2
Dividi il polinomio per x-2 a
(x2 – 4x + 3) = 0.
Ora risolvi l’equazione quadratica ( x2 – 4x + 3) = 0 per ottenere x = 1 o x = 3
Pertanto, le soluzioni sono x= 2, x =1 e x = 3.
Esempio 6
Risolvere l’equazione cubica x3 – 7×2 + 4x + 12 = 0
Soluzione
Sia f(x) = x3 – 7×2 + 4x + 12
Poiché d = 12, i valori possibili sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12.,
Per tentativi ed errori, troviamo che f (-1) = -1 – 7 – 4 + 12 = 0
Quindi, (x + 1) è un fattore della funzione.
x3-7×2 + 4x + 12
= (x + 1) (x2 – 8x + 12)
= (x + 1) (x – 2) (x – 6)
Quindi x = -1, 2, 6
Esempio 7
Risolvi la seguente equazione cubica:
x3 + 3×2 + x + 3 = 0.
Soluzione
x3 + 3×2 + x + 3
= (x3 + 3×2) + (x + 3)
= x2(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (x2 + 1)
Quindi, x = -1 ,1 -3.,
Example 8
Solve x3 − 6×2 + 11x − 6 = 0
Solution
Factorize
x3 − 6×2 + 11x − 6 = 0 ⟹ (x − 1) (x − 2) (x − 3) = 0
Equating each factor to zero gives;
x = 1, x = 2 and x = 3
Example 9
Solve x 3 − 4×2 − 9x + 36 = 0
Solution
Factorize each set of two terms.,ing ciascun fattore a zero, si ottiene;
x = -3, 3 o 4
10
Risolvere l’equazione 3×3 −16×2 + 23x − 6 = 0
Soluzione
Dividere 3×3 −16×2 + 23x – 6 x -2 per ottenere 3×2 – 1x – 9x + 3
= x (3x – 1) – 3(3x – 1)
= (x – 3) (3x – 1)
Quindi, 3×3 −16×2 + 23x − 6 = (x – 2) (x – 3) (3x – 1)
Equiparare ogni fattore a zero per ottenere,
x = 2, 3 e 1/3
Esempio 11
Trovare le radici di 3×3 – 3×2 – 90x=0
Soluzione
fattore di fuori 3x
3×3 – 3×2 – 90x ⟹3x (x2 – x – 30)
Trovare un paio di fattori il cui prodotto è -30 e la somma è -1.,
⟹- 6 * 5 =-30
⟹ -6 + 5 = -1
Riscrivi l’equazione sostituendo il termine “bx” con i fattori scelti.
⟹ 3x
Fattore di equazione;
⟹ 3x
= 3x (x – 6) (x + 5)
paragonando ogni fattore a zero, si ottiene;
x = 0, 6, -5
la Risoluzione di equazioni cubiche utilizzando il metodo grafico
Se siete in grado di risolvere l’equazione di cubi da uno qualsiasi dei metodi di cui sopra, è possibile risolvere graficamente. Per questo, è necessario disporre di uno schizzo accurato dell’equazione cubica data.,
Il punto(i) in cui il suo grafico attraversa l’asse x, è una soluzione dell’equazione. Il numero di soluzioni reali delle equazioni cubiche è uguale al numero di volte in cui il suo grafico attraversa l’asse X.
Esempio 12
Trova graficamente le radici di x3 + 5×2 + 2x – 8 = 0.
Soluzione
Basta disegnare il grafico della seguente funzione sostituendo casuale valori di x:
f (x) = x3 + 5×2 + 2x – 8
È possibile vedere il grafico taglia l’asse x in corrispondenza di 3 punti, quindi, ci sono 3 soluzioni reali.,
Dal grafico, le soluzioni sono:
x = 1, x = -2 & x = -4.
Domande di pratica
Risolvi le seguenti equazioni cubiche:
