le terme fondements est utilisé pour désigner la formulation et l’analyse du langage, des axiomes et des méthodes logiques sur lesquels repose l’ensemble des mathématiques (voir logique; logique symbolique). La portée et la complexité des mathématiques modernes nécessitent une analyse très fine du langage formel dans lequel des énoncés mathématiques significatifs peuvent être formulés et peut-être être prouvés vrais ou faux. Il a été démontré que la plupart des contradictions mathématiques apparentes découlent d’une utilisation imprécise et incohérente du langage., Une tâche de base est de fournir un ensemble d’axiomes effectivement exempts de contradictions et en même temps assez riche pour constituer une source déductive pour toutes les mathématiques modernes. Les schémas d’axiomes modernes proposés à cet effet sont tous définis dans la théorie des ensembles, créée par Georg Cantor, qui constitue maintenant un langage mathématique universel.
Historiquement, l’algèbre est l’étude de solutions d’une ou de plusieurs équations algébriques, impliquant les fonctions polynomiales d’une ou de plusieurs variables., Le cas où tous les polynômes ont un degré (systèmes d’équations linéaires) conduit à l’algèbre linéaire. Le cas d’une seule équation, dans laquelle on étudie les racines d’un polynôme, conduit à la théorie des champs et à la théorie dite de Galois. Le cas général de plusieurs équations de haut degré conduit à la géométrie algébrique, ainsi nommée parce que les ensembles de solutions de tels systèmes sont souvent étudiés par des méthodes géométriques.,
Les algébristes modernes ont de plus en plus abstrait et axiomatisé les structures et les modèles d’argument rencontrés non seulement dans la théorie des équations, mais en mathématiques en général. Les exemples de ces structures comprennent les groupes (d’abord observés en relation avec les propriétés de symétrie des racines d’un polynôme et maintenant omniprésents dans les mathématiques), les anneaux (dont les entiers, ou les nombres entiers, constituent un exemple de base) et les champs (dont les nombres rationnels, réels et complexes sont des exemples)., Certains des concepts de l’algèbre moderne ont trouvé leur chemin dans l’enseignement des mathématiques élémentaires dans les soi-disant nouvelles mathématiques.
certaines abstractions importantes récemment introduites en algèbre sont les notions de catégorie et de foncteur, qui sont issues de ce qu’on appelle l’algèbre homologique. L’arithmétique et la théorie des nombres, qui concernent les propriétés spéciales des entiers—par exemple, la factorisation unique, les nombres premiers, les équations à coefficients entiers (équations diophantiennes) et les congruences—font également partie de l’algèbre., La théorie analytique des nombres, cependant, applique également les méthodes d’analyse non algébriques à de tels problèmes.
l’ingrédient essentiel de l’analyse est l’utilisation de processus infinis, impliquant le passage à une limite. Par exemple, l’aire d’un cercle peut être calculée comme la valeur de limitation des zones de polygones réguliers inscrits comme le nombre de côtés des polygones augmente indéfiniment. La branche de base de l’analyse est le calcul. Le problème général de la mesure des longueurs, des surfaces, des volumes et d’autres quantités en tant que limites au moyen d’approximations de figures polygonales conduit au calcul intégral., Le calcul différentiel découle de la même manière du problème de trouver la droite tangente à une courbe en un point. D’autres branches de l’analyse résultent de l’application des concepts et des méthodes du calcul à diverses entités mathématiques. Par exemple, l’analyse vectorielle est le calcul de fonctions dont les variables sont des vecteurs. Ici, différents types de dérivés et d’intégrales peuvent être introduits. Ils conduisent, entre autres, à la théorie des équations différentielles et intégrales, dans laquelle les inconnues sont des fonctions plutôt que des nombres, comme dans les équations algébriques., Les équations différentielles sont souvent le moyen le plus naturel d’exprimer les lois régissant le comportement de divers systèmes physiques. Le calcul est l’un des outils les plus puissants et les plus souples des mathématiques. Ses applications, tant dans les mathématiques pures que dans pratiquement tous les domaines scientifiques, sont multiples.
la forme, La taille, et d’autres propriétés des figures et de la nature de l’espace dans la province de la géométrie., La géométrie euclidienne s’intéresse à l’étude axiomatique des polygones, des sections coniques, des sphères, des polyèdres et des objets géométriques connexes en deux et trois dimensions—en particulier, aux relations de congruence et de similitude entre ces objets. La tentative infructueuse de prouver le postulat parallèle des autres axiomes D’Euclide a conduit au 19ème siècle. à la découverte de deux types différents de géométrie non euclidienne.
Le 20 cent., a vu un énorme développement de la topologie, qui est l’étude d’objets géométriques très généraux, appelés espaces topologiques, en ce qui concerne les relations qui sont beaucoup plus faibles que la congruence et la similitude. D’autres branches de la géométrie comprennent la géométrie algébrique et la géométrie différentielle, dans laquelle les méthodes d’analyse sont mises en œuvre sur des problèmes géométriques. Ces domaines sont maintenant dans un État de développement vigoureux.
le terme mathématiques appliquées désigne vaguement un large éventail d’études avec une utilisation actuelle significative dans les sciences empiriques., Il comprend les méthodes numériques et l’informatique, qui cherche des solutions concrètes, parfois approximatives, à des problèmes mathématiques explicites (par exemple, les équations différentielles, les grands systèmes d’équations linéaires). Il a une utilisation majeure dans la technologie pour la modélisation et la simulation. Par exemple, les énormes souffleries, autrefois utilisées pour tester des prototypes coûteux d’avions, ont presque disparu. L’ensemble du processus de conception et de test est désormais largement réalisé par simulation informatique, à l’aide de logiciels mathématiquement adaptés., Il comprend également la physique mathématique, qui interagit maintenant fortement avec tous les domaines centraux des mathématiques. En outre, la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques sont souvent considérées comme des parties des mathématiques appliquées. La distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées devient de moins en moins significative.
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- les Branches des Mathématiques
- Développement des Mathématiques
- Bibliographie
