O termo fundações é usado para referir-se a formulação e a análise da linguagem, axiomas, e os métodos lógicos em que todas matemática repousa (ver lógica; lógica simbólica). O escopo e a complexidade da matemática moderna requerem uma análise muito fina da linguagem formal na qual afirmações matemáticas significativas podem ser formuladas e talvez provadas verdadeiras ou falsas. A maioria das contradições matemáticas aparentes tem sido mostrada derivando de um uso impreciso e inconsistente da linguagem., Uma tarefa básica é fornecer um conjunto de axiomas efetivamente livres de contradições e ao mesmo tempo suficientemente rico para constituir uma fonte dedutiva para toda a matemática moderna. Os esquemas axiomáticos modernos propostos para este propósito são todos feitos dentro da teoria dos conjuntos, originados por Georg Cantor, que agora constitui uma linguagem matemática universal.
historicamente, álgebra é o estudo de soluções de uma ou várias equações algébricas, envolvendo as funções polinomiais de uma ou várias variáveis., O caso em que todos os polinômios têm grau Um (sistemas de equações lineares) leva à Álgebra linear. The case of a single equation, in which one studies the roots of one polynomial, leads to field theory and to the so-called Galois theory. O caso geral de várias equações de alto grau leva à geometria algébrica, assim chamada porque os conjuntos de soluções de tais sistemas são frequentemente estudados por métodos geométricos.,
algebraists modernos têm cada vez mais abstraído e axiomatizado as estruturas e padrões de argumento encontrados não só na teoria das equações, mas na matemática em geral. Exemplos dessas estruturas incluem grupos (primeiro testemunhou em relação às propriedades de simetria das raízes de um polinômio e agora onipresente em toda a matemática), anéis (que os números inteiros ou em números inteiros, constituem um exemplo básico) e os campos (do qual o racional, real, e os números complexos são exemplos)., Alguns dos conceitos da álgebra moderna encontraram seu caminho na educação matemática elementar na chamada nova matemática.
algumas abstrações importantes recentemente introduzidas na álgebra são as noções de categoria e functor, que cresceram a partir da chamada álgebra homológica. Aritmética e teoria dos números, que estão preocupados com propriedades especiais dos inteiros—por exemplo, fatoração única, primos, equações com coeficientes inteiros (equações diofantinas), e congruências—são também uma parte da álgebra., A teoria analítica dos números, no entanto, também aplica os métodos não algébricos de análise a tais problemas.
O ingrediente essencial da análise é o uso de processos infinitos, envolvendo passagem a um limite. Por exemplo, a área de um círculo pode ser calculada como o valor-limite das áreas de polígonos regulares inscritos como o número de lados dos polígonos aumenta indefinidamente. O ramo básico da análise é o cálculo. O problema geral de medir comprimentos, áreas, volumes e outras quantidades como limites por meio da aproximação de figuras poligonais leva ao cálculo integral., O cálculo diferencial Surge similarmente do problema de encontrar a linha tangente a uma curva em um ponto. Outros ramos da análise resultam da aplicação dos conceitos e métodos do cálculo a várias entidades matemáticas. Por exemplo, a análise vetorial é o cálculo de funções cujas variáveis são vetores. Aqui podem ser introduzidos vários tipos de derivados e integrais. Eles levam, entre outras coisas, à teoria das equações diferenciais e integrais, nas quais as incógnitas são funções ao invés de números, como nas equações algébricas., Equações diferenciais são muitas vezes a forma mais natural de expressar as leis que regem o comportamento de vários sistemas físicos. O cálculo é uma das ferramentas mais poderosas e flexíveis da matemática. As suas aplicações, tanto na matemática pura como em praticamente todos os domínios científicos, são múltiplas.
a forma, o tamanho e outras propriedades das figuras e a natureza do espaço estão na província da geometria., A geometria euclidiana está preocupada com o estudo axiomático de polígonos, seções cónicas, esferas, poliedros e objetos geométricos relacionados em duas e três dimensões—em particular, com as relações de congruência e de similaridade entre tais objetos. A tentativa infrutífera de provar o postulado paralelo dos outros axiomas de Euclides liderados no décimo nono centavo. à descoberta de dois tipos diferentes de geometria não euclidiana.20 cêntimos., tem visto um enorme desenvolvimento de topologia, que é o estudo de objetos geométricos muito gerais, chamados espaços topológicos, com relação a relações que são muito mais fracas do que congruência e similaridade. Outros ramos da geometria incluem geometria algébrica e geometria diferencial, em que os métodos de análise são levados a suportar problemas geométricos. Estes domínios encontram-se actualmente num estado de desenvolvimento vigoroso.o termo Matemática Aplicada designa vagamente uma ampla gama de estudos com significante uso atual nas ciências empíricas., Inclui métodos numéricos e Ciência da computação, que busca soluções concretas, às vezes aproximadas, para problemas matemáticos explícitos (por exemplo, equações diferenciais, grandes sistemas de equações lineares). Tem um grande uso em tecnologia para modelagem e simulação. Por exemplo, os enormes túneis de vento, anteriormente usados para testar protótipos Caros de aviões, quase desapareceram. Todo o processo de design e teste é agora em grande parte realizado por simulação de computador, usando software matematicamente adaptado., Também inclui a física matemática, que agora interage fortemente com todas as áreas centrais da matemática. Além disso, a teoria da probabilidade e as estatísticas matemáticas são muitas vezes consideradas partes da Matemática Aplicada. A distinção entre matemática pura e aplicada está agora a tornar-se menos significativa.
- Introdução
- Ramos da Matemática
- Desenvolvimento da Matemática
- Bibliografia
