două triunghiuri sunt congruente dacă laturile lor corespunzătoare sunt egale în lungime, iar unghiurile lor corespunzătoare sunt egale în măsură.dacă triunghiul ABC este congruent cu triunghiul Def, relația poate fi scrisă matematic ca:
△ A B C ≅ △ D E F . {\displaystyle \triunghi \mathrm {ABC} \cong \triunghi \mathrm {DEF} .}
în multe cazuri este suficient să se stabilească egalitatea a trei părți corespunzătoare și să se utilizeze unul dintre următoarele rezultate pentru a deduce congruența celor două triunghiuri.,
forma un triunghi este determinat până la congruență prin specificarea a două laturi și unghiul dintre ele (SAS), două unghiuri și o parte dintre ele (AAS) sau două unghiuri și o corespunzătoare laterale adiacente (AAS). Specificarea două laturi și un unghi adiacent (SSA), cu toate acestea, poate produce două triunghiuri distincte posibile.,
Determinarea congruenței
dovezi Suficiente pentru congruență între două triunghiuri în spațiul Euclidian poate fi prezentat prin următoarele comparații:
- SAS (Latură-Unghi-Latură): Dacă două perechi de laturile a două triunghiuri sunt egale în lungime, și a inclus unghiuri sunt egale în măsurare, atunci triunghiurile sunt congruente.
- SSS (Side-Side-Side): dacă trei perechi de laturi ale două triunghiuri sunt egale în lungime, atunci triunghiurile sunt congruente.,
- ASA (unghi-unghi lateral): dacă două perechi de unghiuri de două triunghiuri sunt egale în măsurare, iar laturile incluse sunt egale în lungime, atunci triunghiurile sunt congruente.
postulatul ASA a fost contribuit de Thales din Milet (greacă). În majoritatea sistemelor de axiome, cele trei criterii – SAS, SSS și ASA – sunt stabilite ca teoreme. În sistemul grupului de studiu al matematicii școlare, SAS este luat ca unul (#15) din 22 de postulate.,AAS (unghi-unghi-lateral): dacă două perechi de unghiuri de două triunghiuri sunt egale în măsurare și o pereche de laturi corespunzătoare neincluse sunt egale în lungime, atunci triunghiurile sunt congruente. AAS este echivalent cu o condiție ASA, prin faptul că, dacă sunt date două unghiuri, la fel este și al treilea unghi, deoarece suma lor ar trebui să fie de 180°. ASA și AAS sunt uneori combinate într – o singură condiție, AAcorrS-oricare două unghiuri și o parte corespunzătoare.,
Side-side-angle
condiția SSA (side-side-angle) care specifică două laturi și un unghi neinclus (de asemenea, cunoscut sub numele de fund, sau unghi-side-side) nu dovedește în sine congruență., Pentru a arăta congruența, sunt necesare informații suplimentare, cum ar fi măsurarea unghiurilor corespunzătoare și, în unele cazuri, lungimile celor două perechi de laturi corespunzătoare. Există câteva cazuri posibile:
Dacă două triunghiuri satisfac condiția SSA și lungimea laturii opuse unghiului este mai mare sau egală cu lungimea laturii adiacente (SSA sau latura lungă-unghiul lateral scurt), atunci cele două triunghiuri sunt congruente. Partea opusă este uneori mai lungă atunci când unghiurile corespunzătoare sunt acute, dar este întotdeauna mai lungă atunci când unghiurile corespunzătoare sunt drepte sau obtuze., În cazul în care unghiul este un unghi drept, de asemenea, cunoscut sub numele de postulat Hipotenuză-picior (HL) sau starea unghi drept-Hypotenuse-Side (RHS), a treia parte poate fi calculată folosind teorema pitagoreană permițând astfel postulatul SSS să fie aplicat.dacă două triunghiuri satisfac condiția SSA și unghiurile corespunzătoare sunt acute și lungimea laturii opuse unghiului este egală cu lungimea laturii adiacente înmulțită cu sinusul unghiului, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.,dacă două triunghiuri îndeplinesc condiția SSA și unghiurile corespunzătoare sunt acute și lungimea laturii opuse unghiului este mai mare decât lungimea laturii adiacente înmulțită cu sinusul unghiului (dar mai mică decât lungimea laturii adiacente), atunci cele două triunghiuri nu pot fi demonstrate a fi congruente. Acesta este cazul ambiguu și două triunghiuri diferite pot fi formate din informațiile date, dar informații suplimentare care le disting pot duce la o dovadă de congruență.,
Unghi-unghi-unghi
În geometria Euclidiană, AAA (Unghi-Unghi-Unghi) (sau doar AA, deoarece în geometria Euclidiană unghiurile unui triunghi adăuga până la 180°) nu oferă informații cu privire la dimensiunea celor două triunghiuri și, prin urmare, se dovedește singura asemănare și nu congruență în spațiul Euclidian.cu toate acestea, în geometria sferică și geometria hiperbolică (unde suma unghiurilor unui triunghi variază în funcție de dimensiune) AAA este suficientă pentru congruența unei curburi date a suprafeței.,
CPCTC
acest acronim reprezintă părțile corespunzătoare ale triunghiurilor congruente sunt congruente o versiune prescurtată a definiției triunghiurilor congruente., , {\displaystyle \triangle ABC\cong \triunghiul DEF,}
cu perechile corespunzătoare de unghiuri la nodurile a și D; B și E; și C și F, și cu perechile corespunzătoare de laturile AB și DE; BC și EF; și CA și FD, atunci următoarele afirmații sunt adevărate:
B ≅ D E {\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}} B C ≅ E F {\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}} O C ≅ D F {\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}} ∠ B O C ≅ ∠ E D F {\displaystyle \unghiul BAC\cong \unghiul FED} ∠ a B C ≅ ∠ D E F {\displaystyle \unghiul ABC\cong \unghiul DEF} ∠ B C A ≅ ∠ E F D ., modul de afișare a unghiului BCA cong angle EFD.}
afirmația este adesea folosită ca justificare în dovezile geometrice elementare atunci când este necesară o concluzie a congruenței părților a două triunghiuri după stabilirea congruenței triunghiurilor. De exemplu, dacă două triunghiuri s-au dovedit a fi congruente prin criteriile SSS și o declarație că unghiurile corespunzătoare sunt congruente este necesară într-o dovadă, atunci CPCTC poate fi folosit ca o justificare a acestei declarații.,o teoremă înrudită este CPCFC, în care” triunghiurile „sunt înlocuite cu” figuri”, astfel încât teorema se aplică oricărei perechi de poligoane sau poliedre care sunt congruente.
