definiția ecuației diferențiale omogene
o ecuație diferențială de ordinul întâi
\
se numește ecuație omogenă, dacă partea dreaptă satisface condiția
\
pentru toți \(t.,\) Cu alte cuvinte, pe partea dreapta este o funcție omogenă (cu privire la variabilele \(x\) și \(y\)) de ordin zero:
\
O ecuație diferențială omogenă poate fi, de asemenea, scris în formă
\
sau, alternativ, în diferențială de forma:
\
unde \(P\left( {x,y} \right)\) și \(Q\left( {x,y} \right)\) sunt funcții omogene de același grad.,
definiția funcției omogene
\
rezolvarea ecuațiilor diferențiale omogene
o ecuație omogenă poate fi rezolvată prin substituție \(y = ux,\) care conduce la o ecuație diferențială separabilă.
o ecuație diferențială de tip
\
este transformată într-o ecuație separabilă prin mutarea originii sistemului de coordonate în punctul de intersecție al liniilor drepte date., Dacă aceste linii drepte sunt paralele, ecuația diferențială este transformată în ecuație separabilă folosind schimbarea variabilei:
\
probleme rezolvate
Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.
exemplu 1.
rezolvați ecuația diferențială \(\left ({2x + y} \right) DX\) \ (- xdy = 0.\)
soluție.
Să presupunem că \(y = ux,\) unde \(u\) este o funcție nouă în funcție de \(x.,\ ), Atunci
\
Înlocuind în ecuația diferențială, se obține
\
prin Urmare,
\
Împărțind ambele părți prin \(x\) se obține:
\
Integra aceasta expresie pentru a obține:
\
unde \(C\) este o constantă de integrare.revenind la variabila veche \(y,\) putem scrie:
\
astfel, ecuația are două soluții:
\
