Interpolation (Română)

This table gives some values of an unknown function f ( x ) {\displaystyle f(x)} .

Interpolation provides a means of estimating the function at intermediate points, such as x = 2.5 {\displaystyle x=2.5} .,descriem câteva metode de interpolare, care diferă în proprietăți precum: precizia, costul, numărul de puncte de date necesare și netezimea funcției interpolante rezultate.

Porțiuni constantă interpolationEdit

cea mai simplă metodă de interpolare este de a localiza cea mai apropiată valoare de date și de a atribui aceeași valoare., În probleme simple, această metodă este puțin probabil să fie utilizată, deoarece interpolarea liniară (vezi mai jos) este aproape la fel de ușoară, dar în interpolarea multivariată cu dimensiuni mai mari, aceasta ar putea fi o alegere favorabilă pentru viteza și simplitatea sa.,regulamentul are două puncte de date, spun (xa,ya) și (xb,yb), și interpolant este dat de:

y = y a + ( y b − y a ) x − x a x b − x a de la punctul ( x , y ) {\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{o}\right){\frac {x-x_{o}}{x_{b}-x_{o}}}{\text{ la punctul }}\left(x,y\right)}

y − y a y b − y a = x − x a x b − x a {\displaystyle {\frac {y-y_{o}}{y_{b}-y_{o}}}={\frac {x-x_{o}}{x_{b}-x_{o}}}}

y − y o x − x a = y b − y a x b − x a {\displaystyle {\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}={\frac {y_{b}-y_{o}}{x_{b}-x_{o}}}}

interpolare Liniară este ușor și rapid, dar nu este foarte precis., Un alt dezavantaj este că interpolantul nu este diferențiabil la punctul xk.următoarea estimare de eroare arată că interpolarea liniară nu este foarte precisă. Indicați funcția pe care dorim să o interpolăm cu g și să presupunem că x se află între xa și xb și că g este de două ori diferențiabil continuu. Apoi eroarea de interpolare liniară este

| f ( x ) − g ( x ) | ≤ C ( x b − x a ) 2 unde C = 1 8 max r ∈ | g ” ( r ) | . {\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{o})^{2}\quad {\text{unde}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\în }|g”(r)|.,}

în cuvinte, eroarea este proporțională cu pătratul distanței dintre punctele de date. Eroarea în alte metode, inclusiv interpolarea polinomială și interpolarea spline (descrisă mai jos), este proporțională cu Puterile mai mari ale distanței dintre punctele de date. Aceste metode produc, de asemenea, interpolanți mai fini.,

Polinom interpolationEdit

Polinomului de interpolare este o generalizare de interpolare liniară. Rețineți că interpolantul liniar este o funcție liniară. Acum înlocuim acest interpolant cu un polinom de grad superior.luați în considerare din nou problema dată mai sus. Următorul polinom de gradul șase trece prin toate cele șapte puncte:

f ( x ) = − 0.,0001521 x 6 − 0.003130 x 5 + 0.07321 x 4 − 0.3577 x 3 + 0.2255 x 2 + 0.9038 x . {\displaystyle f(x)=-0.0001521 x^{6}-0.003130 x^{5}+0.07321 x^{4}-0.3577 x^{3}+0.2255 x^{2}+0.9038 x.}

Înlocuind x = 2.5, vom găsi că f(2.5) = ~0.59678.în general, dacă avem n puncte de date, există exact un polinom de grad cel mult n−1 care trece prin toate punctele de date. Interpolarea de eroare este proporțională cu distanța dintre punctele de date la puterea n. În plus, interpolant este un polinom și, astfel, infinit derivabile., Deci, vedem că interpolarea polinomială depășește majoritatea problemelor interpolării liniare.cu toate acestea, interpolarea polinomială are și unele dezavantaje. Calcularea polinomului interpolant este costisitoare din punct de vedere computațional (vezi complexitatea computațională) în comparație cu interpolarea liniară. Mai mult, interpolarea polinomială poate prezenta artefacte oscilatorii, în special la punctele finale (vezi fenomenul lui Runge).

interpolarea polinomială poate estima maximele și minimele locale care se află în afara intervalului probelor, spre deosebire de interpolarea liniară., De exemplu, interpolant de mai sus are un maxim local la x ≈ 1.566, f(x) ≈ 1.003 și un minim local la x ≈ 4.708, f(x) ≈ -1.003. Cu toate acestea, aceste maxime și minime pot depăși teoretice gamă de funcții—de exemplu, o funcție care este întotdeauna pozitiv poate avea un interpolant cu valori negative, și a cărei inversă, prin urmare, conține false asimptote verticale.

în general, forma curbei rezultate, în special pentru valori foarte mari sau mici ale variabilei independente, poate fi contrară sensului comun, adică., la ceea ce se știe despre sistemul experimental care a generat punctele de date. Aceste dezavantaje pot fi reduse prin utilizarea interpolării spline sau prin restricționarea atenției asupra polinoamelor Chebyshev.

Spline interpolationEdit

Amintiți-vă că interpolare liniară utilizează o funcție liniară pentru fiecare dintre intervale ., Interpolarea Spline folosește polinoame de grad scăzut în fiecare dintre intervale și alege piesele polinomiale astfel încât să se potrivească fără probleme. Funcția rezultată se numește spline.

de exemplu, spline cubic natural este bucată cubică și de două ori în mod continuu diferențiabile. În plus, al doilea derivat este zero la punctele finale. Naturale spline cubice de interpolare punctele din tabelul de mai sus este dat de

f ( x ) = { − 0.1522 x 3 + 0.9937 x , dacă x ∈ , − 0.01258 x 3 − 0.4189 x 2 + 1.4126 x − 0.1396 , dacă x ∈ , 0.1403 x 3 − 1.3359 x 2 + 3.2467 x − 1.,3623 , if x ∈ , 0.1579 x 3 − 1.4945 x 2 + 3.7225 x − 1.8381 , if x ∈ , 0.05375 x 3 − 0.2450 x 2 − 1.2756 x + 4.8259 , if x ∈ , − 0.1871 x 3 + 3.3673 x 2 − 19.3370 x + 34.9282 , if x ∈ . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in ,\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in ,\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in ,\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in ,\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.,8259,&{\text{daca }}x\in ,\\-0.1871 x^{3}+3.3673 x^{2}-19.3370 x+34.9282,&{\text{daca }}x\in .\ end{case}}}

în acest caz obținem f(2.5) = 0.5972.

Ca polinom de interpolare, interpolare spline la un cost mai mic de eroare decât interpolare liniară, în timp ce interpolant este mai lin și mai ușor de evaluat decât high-grade polinoame utilizate în polinomului de interpolare. Cu toate acestea, natura globală a funcțiilor de bază duce la condiționarea necorespunzătoare., Acest lucru este complet atenuat prin utilizarea spline de suport compact, cum ar fi sunt puse în aplicare în impuls.Math și discutate în Kress.