Legea lui Hooke

pentru o dezvoltare analogă pentru fluidele vâscoase, vezi vâscozitatea.materialele izotrope se caracterizează prin proprietăți care sunt independente de direcția în spațiu. Prin urmare, ecuațiile fizice care implică materiale izotrope trebuie să fie independente de sistemul de coordonate ales pentru a le reprezenta. Tensorul de tensiune este un tensor simetric., Deoarece urma oricărui tensor este independentă de orice sistem de coordonate, cea mai completă descompunere fără coordonate a unui tensor simetric este să o reprezinte ca suma unui tensor constant și a unui tensor simetric fără urme. Astfel, în indicele de notație:

ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}

unde δij este delta Kronecker., În direct tensor notație:

ε = vol ⁡ ( ε ) + dev ⁡ ( ε ) ; vol ⁡ ( ε ) = 1 3 tr ⁡ ( ε ) I ; dev ⁡ ( ε ) = ε − vol ⁡ ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}

în cazul în care nu este de ordinul al doilea identitate tensor.,

primul termen din dreapta este constantă tensor, de asemenea, cunoscut sub numele de tulpina volumetrice tensor, iar al doilea termen este traceless tensor simetric, de asemenea, cunoscut ca deviatoric tulpina tensor de forfecare sau tensor.,>Forma cea mai generală de legea lui Hooke pentru materiale izotrope poate fi scris ca o combinație liniară de acești doi tensori:

σ i j = 3 K ( 1 3 ε k k δ i j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) ; σ = 3 K vol ⁡ ( ε ) + 2 G dev ⁡ ( ε ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {} dev ({\boldsymbol {\varepsilon }})}

în cazul în care K este cea mai mare parte modul și G este modulul de forfecare.,folosind relațiile dintre modulele elastice, aceste ecuații pot fi, de asemenea, exprimate în diverse alte moduri.,pe formularul de legea lui Hooke pentru materiale izotrope, exprimată în direct tensor notație, este

σ = λ tr ⁡ ( ε ) I + 2 μ ε = c : ε ; c = λ m ⊗ I + 2 μ m {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {am}}}

în cazul în care λ = K − 2/3G = c1111 − 2c1212 și μ = G = c1212 sunt Lamé constante, nu este cel de-al doilea rang de identitate tensor, și nu este simetrică parte din al patrulea rang de identitate tensor.,j − ∑ i j ) ) ; ε = 1 E ( σ − ν ( tr ⁡ ( σ ) m − σ ) ) = 1 + ν E σ − ν E tr ⁡ ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\mare (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\mare )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\mare (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\mare )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }

Aceasta este forma în care tulpina este exprimată în termeni de tensorul tensiunilor în inginerie.,1}&={\frac {1}{E}}{\mare (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\mare )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\mare (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\mare )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\mare (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\mare )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aliniat}}}

în cazul în care E este modulul lui Young și ν este coeficientul lui Poisson., (A se vedea elasticitatea 3-D).,div>0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}

where γij = 2εij is the engineering shear strain.,>\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}

în cazul în care nu este identitatea tensor.,

Stressedit Plane

în condiții de stres plane , S31 = S13 = S32 = S23 = S33 = 0.,n _{22}\right)\right)}

relația inversă este de obicei scrisă în formă redusă

= 1 E {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}

Avion strainEdit

Sub avion tulpina condiții, ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0.,begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}

Anizotrope materialsEdit

simetria Cauchy stress tensor (σij = σji) și generalizată a lui Hooke legi (σij = cijklekl) implică faptul că cijkl = cjikl., În mod similar, simetria tensorului de tensiune infinitezimal implică faptul că cijkl = cijlk. Aceste simetrii sunt numite simetrii minore ale tensorului de rigiditate c. aceasta reduce numărul de constante elastice de la 81 la 36.

Dacă, în plus, deoarece deplasarea gradient și Cauchy de stres sunt de lucru conjugat, stres–tulpina legătură poate fi derivat dintr-o tulpina de energie funcționalei de densitate (U), atunci

σ i j = ∂ U ∂ ε i j ⟹ c i j k l = ∂ 2 U ∂ ε i j ∂ ε k l ., {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implică \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}

arbitraritatea ordinii de diferențiere implică faptul că cijkl = cklij. Acestea sunt numite simetriile majore ale tensorului de rigiditate. Aceasta reduce numărul de constante elastice de la 36 la 21. Simetriile majore și minore indică faptul că tensorul de rigiditate are doar 21 de componente independente.,

reprezentarea matricei (tensorul rigidității)editare

este adesea util să se exprime forma anizotropă a legii lui Hooke în notația matricei, numită și notație Voigt.,>C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}

and Hooke’s law is written as

= or σ i = C i j ε j ., {\displaystyle =\qquad {\text{sau}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.,v>S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}

Schimbare de coordonate systemEdit

Dacă un liniar elastic materialul este rotit de un configurația de referință la altul, apoi materialul este simetric în raport cu rotația în cazul componentelor de rigiditate tensor în rotit de configurare sunt legate de componentele în configurația de referință cu relația

c p q r s = l p i l q j l r k l s l c i j k l {\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}

în cazul în laborator sunt componente de-a lungul unei axe de rotație matrice ., Aceeași relație este valabilă și pentru inversiuni.

în notația matricei, dacă baza transformată (rotită sau inversată) este legată de baza de referință cu

= {\displaystyle =}

atunci

C i j ε i ε j = c i j ‘ε i’ ε j ‘ . {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}’\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j}\,.}

în plus, dacă materialul este simetric în raport cu transformarea, atunci

C I j = C I j ‘⟹ C i j ( ε i ε j − ε i ‘ε j’ ) = 0 ., {\displaystyle C_{ij}=C’_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j})=0\,.}

Orthotropic materialsEdit

Orthotropic materials have three orthogonal planes of symmetry.,>