Il termine fondamenti è usato per riferirsi alla formulazione e all’analisi del linguaggio, degli assiomi e dei metodi logici su cui poggia tutta la matematica (vedi logica; logica simbolica). La portata e la complessità della matematica moderna richiede un’analisi molto fine del linguaggio formale in cui affermazioni matematiche significative possono essere formulate e forse dimostrate vere o false. La maggior parte delle apparenti contraddizioni matematiche hanno dimostrato di derivare da un uso impreciso e incoerente del linguaggio., Un compito fondamentale è quello di fornire un insieme di assiomi effettivamente privo di contraddizioni e allo stesso tempo abbastanza ricco da costituire una fonte deduttiva per tutta la matematica moderna. Gli schemi assiomi moderni proposti a questo scopo sono tutti espressi all’interno della teoria degli insiemi, originata da Georg Cantor, che ora costituisce un linguaggio matematico universale.
Storicamente, l’algebra è lo studio di soluzioni di una o più equazioni algebriche, che coinvolgono le funzioni polinomiali di una o più variabili., Il caso in cui tutti i polinomi hanno un grado (sistemi di equazioni lineari) porta all’algebra lineare. Il caso di una singola equazione, in cui si studiano le radici di un polinomio, porta alla teoria dei campi e alla cosiddetta teoria di Galois. Il caso generale di diverse equazioni di alto grado porta alla geometria algebrica, così chiamata perché gli insiemi di soluzioni di tali sistemi sono spesso studiati con metodi geometrici.,
Gli algebristi moderni hanno sempre più astratto e assiomatizzato le strutture e i modelli di argomento incontrati non solo nella teoria delle equazioni, ma in matematica in generale. Esempi di queste strutture includono gruppi (prima testimoniati in relazione alle proprietà di simmetria delle radici di un polinomio e ora onnipresenti in tutta la matematica), anelli (di cui gli interi, o numeri interi, costituiscono un esempio di base) e campi (di cui i numeri razionali, reali e complessi sono esempi)., Alcuni dei concetti dell’algebra moderna hanno trovato la loro strada nell’educazione matematica elementare nella cosiddetta nuova matematica.
Alcune astrazioni importanti recentemente introdotte in algebra sono le nozioni di categoria e funtore, che sono nate dalla cosiddetta algebra omologica. L’aritmetica e la teoria dei numeri, che si occupano di proprietà speciali degli interi—ad esempio, fattorizzazione unica, numeri primi, equazioni con coefficienti interi (equazioni diofantee) e congruenze—fanno anche parte dell’algebra., La teoria analitica dei numeri, tuttavia, applica anche i metodi di analisi nonalgebraici a tali problemi.
L’ingrediente essenziale dell’analisi è l’uso di processi infiniti, che comportano il passaggio a un limite. Ad esempio, l’area di un cerchio può essere calcolata come il valore limite delle aree dei poligoni regolari inscritti quando il numero di lati dei poligoni aumenta indefinitamente. Il ramo base dell’analisi è il calcolo. Il problema generale di misurare lunghezze, aree, volumi e altre quantità come limiti mediante l’approssimazione di figure poligonali porta al calcolo integrale., Il calcolo differenziale nasce allo stesso modo dal problema di trovare la linea tangente a una curva in un punto. Altri rami di analisi derivano dall’applicazione dei concetti e dei metodi del calcolo a varie entità matematiche. Ad esempio, l’analisi vettoriale è il calcolo di funzioni le cui variabili sono vettori. Qui possono essere introdotti vari tipi di derivati e integrali. Portano, tra le altre cose, alla teoria delle equazioni differenziali e integrali, in cui le incognite sono funzioni piuttosto che numeri, come nelle equazioni algebriche., Le equazioni differenziali sono spesso il modo più naturale in cui esprimere le leggi che regolano il comportamento di vari sistemi fisici. Il calcolo è uno degli strumenti più potenti ed elastici della matematica. Le sue applicazioni, sia nella matematica pura che praticamente in ogni dominio scientifico, sono molteplici.
La forma, la dimensione e altre proprietà delle figure e la natura dello spazio sono nella provincia della geometria., La geometria euclidea si occupa dello studio assiomatico di poligoni, sezioni coniche, sfere, poliedri e oggetti geometrici correlati in due e tre dimensioni—in particolare, con le relazioni di congruenza e di somiglianza tra tali oggetti. Il tentativo infruttuoso di dimostrare il postulato parallelo dagli altri assiomi di Euclide ha portato nel 19 ° secolo. alla scoperta di due diversi tipi di geometria non euclidea.
Il 20 ° centesimo., ha visto un enorme sviluppo della topologia, che è lo studio di oggetti geometrici molto generali, chiamati spazi topologici, rispetto a relazioni che sono molto più deboli di congruenza e somiglianza. Altri rami della geometria includono geometria algebrica e geometria differenziale, in cui i metodi di analisi sono portati a sopportare problemi geometrici. Questi campi sono ora in un vigoroso stato di sviluppo.
Il termine matematica applicata designa vagamente una vasta gamma di studi con un uso corrente significativo nelle scienze empiriche., Include metodi numerici e informatica, che cerca soluzioni concrete, a volte approssimative, a problemi matematici espliciti (ad esempio, equazioni differenziali, grandi sistemi di equazioni lineari). Ha un uso importante nella tecnologia per la modellazione e la simulazione. Ad esempio, le enormi gallerie del vento, precedentemente utilizzate per testare costosi prototipi di aerei, sono quasi scomparse. L’intero processo di progettazione e test è ora in gran parte effettuato da simulazione al computer, utilizzando software matematicamente su misura., Include anche la fisica matematica, che ora interagisce fortemente con tutte le aree centrali della matematica. Inoltre, la teoria della probabilità e le statistiche matematiche sono spesso considerate parti della matematica applicata. La distinzione tra matematica pura e matematica applicata sta diventando meno significativa.
- Introduzione
- Rami della matematica
- Sviluppo della matematica
- Bibliografia
