1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Cesàro y HölderEdit

1, -1, 2, -2, 3, -3, …,

y la media aritmética de estas sumas parciales son:

1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, ….

Esta secuencia de medias no converge, por lo que 1 − 2 + 3 − 4 + … no es Cesàro sumable.

Hay dos generalizaciones bien conocidas de la suma de Cesàro: la conceptualmente más simple de estas es la secuencia de métodos (H, n) para números naturales n., La suma (H, 1) es la suma de Cesàro, y los métodos superiores repiten el cálculo de medias. Arriba, las medias pares convergen a 1⁄2, mientras que las medias impares son todas iguales a 0, por lo que las medias de las medias convergen a la media de 0 y 1⁄2, es decir, 1⁄4. Así que 1 − 2 + 3 − 4 + … es (H, 2) sumable a 1⁄4.

la otra generalización comúnmente formulada de la sumación de Cesàro es la secuencia de métodos (C, n). Se ha demostrado que la suma (C, n) y la suma (H, n) siempre dan los mismos resultados, pero tienen diferentes antecedentes históricos., En 1887, Cesàro estuvo cerca de establecer la definición de (C, n) sumatoria, pero dio solo unos pocos ejemplos. En particular, resumió 1 − 2 + 3 − 4 + …, a 1⁄4 por un método que puede ser reformulado como (C, n) pero no estaba justificado como tal en el momento. Definió formalmente los métodos (C, n) en 1890 con el fin de establecer su teorema de que el producto de Cauchy de una serie (C, n)-sumable y una serie (C, m)-sumable es (C, m + n + 1)-sumable.

Abel summationEdit

en un informe de 1749, Leonhard Euler admite que la serie diverge pero se prepara para sumarla de todos modos:

… cuando se dice que la suma de esta serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 etc. es 1⁄4, eso debe parecer paradójico. Porque al agregar 100 Términos de esta serie, obtenemos -50, sin embargo, la suma de 101 términos da +51, que es bastante diferente de 1⁄4 y se vuelve aún mayor cuando se aumenta el número de términos., Pero ya he notado en un momento anterior, que es necesario dar a la palabra suma un mayor significado …

Euler propuso una generalización de la palabra «suma» varias veces. En el caso de 1 − 2 + 3 − 4 + …, sus ideas son similares a lo que ahora se conoce como Abel summation:

… no es más dudoso que la suma de esta serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 etc. es 1⁄4; ya que surge de la expansión de la Fórmula 1⁄(1+1)2, cuyo valor es indiscutiblemente 1⁄4., La idea se hace más clara al considerar la serie general 1 − 2x + 3×2 − 4×3 + 5×4-6×5 + &C. que surge mientras se expande la expresión 1⁄(1+x)2, que esta serie es de hecho igual a después de establecer x = 1.

Hay muchas maneras de ver que, al menos para valores absolutos |x| < 1, Euler es derecho en que

1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 . {\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.,}

uno puede tomar la expansión de Taylor del lado derecho, o aplicar el proceso formal de división larga para polinomios. Comenzando desde el lado izquierdo, uno puede seguir la heurística general anterior e intentar multiplicar por (1 + x) dos veces o cuadrar la serie geométrica 1-x + x2 -…. Euler también parece sugerir diferenciar la última serie término por término.

en la vista moderna, la serie 1-2x + 3×2-4×3 + … no define una función en x = 1, por lo que el valor no puede sustituirse simplemente en la expresión resultante., Ya que la función está definida para todos |x| < 1, uno puede todavía tomar el límite cuando x se aproxima a 1, y esta es la definición de Abel suma:

lim x → 1 − ∑ n = 1 ∞ n ( − x ) n − 1 = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}

Euler y BorelEdit

Euler aplicó otra técnica a la serie: la transformación de Euler, una de sus propias invenciones. Para calcular la Transformada de Euler, se comienza con la secuencia de términos positivos que componen la serie alterna-en este caso 1, 2, 3, 4,…. El primer elemento de esta secuencia se denomina a0.

1 2 A 0 − 1 4 Δ A 0 + 1 8 Δ 2 a 0 − ⋯ = 1 2 − 1 4 ., {\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}

en terminología moderna, uno dice que 1 − 2 + 3 − 4 + … es Euler sumable a 1⁄4.

La sumabilidad de Euler implica otro tipo de sumabilidad también. Representing 1 − 2 + 3 − 4 + … como

∑ k = 0 ∞ k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}

uno tiene la relacionada en todas partes-convergente la serie

una ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) x k + 1 ( k + 1 ) !, = x ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k k ! = e-x x . {\displaystyle una(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k+1}}{(k+1)!}}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!}} = e^{- x}x.}

la suma de Borel de 1 − 2 + 3 − 4 + … es, por tanto,

∫ 0 ∞ e − x a ( x ) d x = ∫ 0 ∞ e − 2 x x d x = − ∂ ∂ β | 2 ∫ 0 ∞ e − β x d x = − ∂ ∂ β | 2 β − 1 = 1 4 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}de a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2}x\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\beta ^{-1}={\frac {1}{4}}.,}

separación de escalaseditar

Saichev y Woyczyński llegan a 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 aplicando solo dos principios físicos: relajación infinitesimal y separación de escalas. Para ser precisos, estos principios los llevan a definir una amplia familia de «métodos de suma φ», todos los cuales suman la serie a 1⁄4:

Lim δ → 0 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( m + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 . {\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}

Este resultado generaliza la suma de Abel, que se recupera dejando φ ( x) = exp(−x)., La declaración general se puede probar emparejando los Términos en la serie sobre m y convirtiendo la expresión en una integral de Riemann. Para el último paso, la prueba correspondiente para 1 − 1 + 1 − 1 + … aplica el teorema del valor medio, pero aquí se necesita la forma más fuerte de Lagrange del teorema de Taylor.