Congruencia (Geometría)

dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales en longitud, y sus ángulos correspondientes son iguales en medida.

si el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF, la relación se puede escribir matemáticamente como:

A A B C D D E F . {\displaystyle \ triangle \ mathrm {ABC} \Cong \ triangle \mathrm {DEF} .}

en muchos casos es suficiente establecer la igualdad de tres partes correspondientes y utilizar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.,

determinación de la congruencia

La evidencia suficiente para la congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano se puede mostrar a través de las siguientes comparaciones:

• SAS (lado-ángulo-lado): si dos pares de lados de dos triángulos son iguales en longitud, y los ángulos incluidos son iguales en medición, entonces los triángulos son congruentes.
• SSS (lado-lado-Lado): Si tres pares de lados de dos triángulos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.,
• ASA (ángulo-lado-ángulo): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medida, y los lados incluidos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.

el postulado ASA fue contribuido por tales de Mileto (Griego). En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios – SAS, SSS y ASA – se establecen como teoremas. En el sistema de grupo de estudio de matemáticas de la Escuela SAS se toma como uno (#15) de 22 postulados.,

• AAS (Ángulo-Ángulo-lado): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medida, y un par de lados no incluidos correspondientes son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes. AAS es equivalente a una condición ASA, por el hecho de que si se dan dos ángulos cualesquiera, también lo es el tercer ángulo, ya que su suma debe ser de 180°. ASA y AAS a veces se combinan en una sola condición, AAcorrS: dos ángulos cualesquiera y un lado correspondiente.,
• RHS (lado-hipotenusa-ángulo recto), también conocido como HL (pierna-hipotenusa): si dos triángulos en ángulo recto tienen sus hipotenos iguales en longitud, y un par de lados más cortos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.

Side-side-angle

la condición SSA (side-side-angle) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocido como ASS, o angle-side-side) no demuestra por sí misma congruencia., Para mostrar la congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:

si dos triángulos satisfacen la condición SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual a la longitud del lado adyacente (SSA, o lado largo-ángulo lateral corto), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto es a veces más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos., Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como el postulado de la hipotenusa-pierna (HL) o la condición del lado de la hipotenusa-ángulo recto (RHS), el tercer lado se puede calcular utilizando el Teorema de Pitágoras, lo que permite aplicar el postulado de SSS.

si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.,

si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces los dos triángulos no pueden mostrarse congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero la información adicional que los distingue puede conducir a una prueba de congruencia.,

Angle-angle-angle

en geometría euclidiana, AAA (o simplemente AA, ya que en geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo demuestra similitud y no congruencia en el espacio euclidiano.

sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura dada de la superficie.,

CPCTC

Este acrónimo significa partes correspondientes de Triángulos congruentes son congruentes una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes., , {\displaystyle \triángulo ABC\cong \triángulo DEF,}

con los correspondientes pares de ángulos en los vértices a y D, B y E; y C y F, y con los correspondientes pares de lados AB y DE; BC y EF; y el CA y el FD, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

B ≅ D E {\displaystyle {\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}} B C ≅ E F {\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}} a C ≅ D F {\displaystyle {\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}} ∠ B a C ≅ ∠ E D F {\displaystyle \ángulo BAC\cong \ángulo de la FED} ∠ A B C ≅ ∠ D E F {\displaystyle \ángulo ABC\cong \ángulo DEF} ∠ B C ≅ ∠ E F D ., {\displaystyle \angle BCA\Cong \angle EFD.}

la declaración se usa a menudo como una justificación en las pruebas de geometría elemental cuando se necesita una conclusión de la congruencia de partes de dos triángulos después de que se haya establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes por los criterios de SSS y se necesita una declaración de que los ángulos correspondientes son congruentes en una prueba, entonces el CPCTC puede usarse como justificación de esta declaración.,

un teorema relacionado es CPCFC, en el que «triángulos» se sustituye por «figuras» de modo que el teorema se aplica a cualquier par de polígonos o poliedros que son congruentes.