ondas circulares generadas por difracción desde la entrada estrecha de una cantera costera inundada
Los efectos de la difracción se ven a menudo en la vida cotidiana., Los ejemplos más llamativos de difracción son aquellos que involucran luz; por ejemplo, las pistas estrechamente espaciadas en un CD o DVD actúan como una rejilla de difracción para formar el patrón de arco iris familiar visto cuando se mira un disco. Este principio se puede extender para diseñar una rejilla con una estructura tal que produzca cualquier patrón de difracción deseado; el holograma en una tarjeta de crédito es un ejemplo. La difracción en la atmósfera por partículas pequeñas puede hacer que un anillo brillante sea visible alrededor de una fuente de luz brillante como el sol o la luna., Una sombra de un objeto sólido, usando luz de una fuente compacta, muestra pequeños flecos cerca de sus bordes. El patrón de moteado que se observa cuando la luz láser cae sobre una superficie ópticamente áspera es también un fenómeno de difracción. Cuando la carne deli parece iridiscente, es difracción de las fibras de la carne. Todos estos efectos son consecuencia del hecho de que la luz se propaga como una onda.
la difracción puede ocurrir con cualquier tipo de onda. Las olas del Océano difractan alrededor de los muelles y otros obstáculos., Las ondas sonoras pueden difractarse alrededor de los objetos, por lo que todavía se puede escuchar a alguien llamando incluso cuando se esconde detrás de un árbol.La difracción también puede ser una preocupación en algunas aplicaciones técnicas; establece un límite fundamental para la resolución de una cámara, telescopio o microscopio.
Otros ejemplos de difracción se consideran a continuación.
difracción de rendija Únicaeditar
aproximación numérica del patrón de difracción de una rendija de ancho cuatro longitudes de onda con una onda de plano incidente., La viga central principal, los nulos y las reversiones de fase son evidentes.
Gráfico y la imagen de una sola rendija de la difracción.
una hendidura larga de anchura infinitesimal que es iluminada por la luz difracta la luz en una serie de ondas circulares y el frente de onda que emerge de la hendidura es una onda cilíndrica de intensidad uniforme, de acuerdo con el principio de Huygens–Fresnel.
una hendidura que es más ancha que una longitud de onda produce efectos de interferencia en el espacio aguas abajo de la hendidura., Esto se puede explicar asumiendo que la rendija se comporta como si tuviera un gran número de fuentes puntuales espaciadas uniformemente a lo largo del ancho de la rendija. El análisis de este sistema se simplifica si consideramos la luz de una sola longitud de onda. Si la luz incidente es coherente, todas estas fuentes tienen la misma fase. La incidencia de luz en un punto dado en el espacio aguas abajo de la rendija se compone de contribuciones de cada una de estas fuentes puntuales y si las fases relativas de estas contribuciones varían en 2π o más, podemos esperar encontrar mínimos y máximos en la luz difractada., Tales diferencias de fase son causadas por diferencias en las longitudes de camino sobre las cuales los rayos contribuyentes alcanzan el punto desde la hendidura.
podemos encontrar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada por el siguiente razonamiento. La luz de una fuente ubicada en el borde superior de la rendija interfiere destructivamente con una fuente ubicada en el Centro de la rendija, cuando la diferencia de trayectoria entre ellas es igual a λ/2. Del mismo modo, la fuente justo debajo de la parte superior de la rendija interferirá destructivamente con la fuente ubicada justo debajo de la mitad de la rendija en el mismo ángulo., Podemos continuar este razonamiento a lo largo de toda la altura de la rendija para concluir que la condición de interferencia destructiva para toda la rendija es la misma que la condición de interferencia destructiva entre dos rendijas estrechas a una distancia que es la mitad del ancho de la rendija., La diferencia de ruta es aproximadamente d sin (θ) 2 {\displaystyle {\frac {d\sin(\theta)} {2}}} de modo que la intensidad mínima ocurre en un ángulo θmin dado por
d sin θ min = λ {\displaystyle D\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda }
donde
Se puede usar un argumento similar para mostrar que si imaginamos que la ranura se divide en cuatro, seis, ocho partes, etc., los mínimos se obtienen en ángulos θn dados por
d sin θ n = n λ {\displaystyle d\, \ sin \ theta _ {n} = n \ lambda}
donde
- n es un entero distinto de cero.,
no existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción. El perfil de intensidad se puede calcular utilizando la ecuación de difracción de Fraunhofer como
I ( θ ) = i 0 sinc 2 ( D π λ sin θ ) {\displaystyle i(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right)}
donde
Este análisis se aplica solo al campo lejano (difracción de Fraunhofer), es decir, a una distancia mucho mayor que el ancho de la hendidura.,
del perfil de intensidad anterior, si d λ λ {\displaystyle d\ll \lambda } , la intensidad tendrá poca dependencia de θ {\displaystyle \theta } , por lo tanto , el frente de onda que emerge de la rendija se asemejaría a una onda cilíndrica con simetría azimutal; si d λ λ {\displaystyle d\gg \lambda}, solo θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} tendría una intensidad apreciable, por lo tanto, el frente de onda que emerge de la rendija se asemejaría al de la óptica geométrica.,
I (θ )=i 0 sinc 2 {\displaystyle i(\theta) = i_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left}
la elección del signo más/menos depende de la definición del ángulo incidente θ i {\displaystyle \theta _{\text{i}}} .
2-hendidura (parte superior) y de 5 de la rendija de difracción de láser rojo de la luz
Difracción de un láser de color rojo usando una rejilla de difracción.,
Un patrón de difracción de una 633 nm láser a través de una red de 150 ranuras
Difracción gratingEdit
Una rejilla de difracción es un componente óptico con un patrón regular. La forma de la luz difractada por una rejilla depende de la estructura de los elementos y el número de elementos presentes, pero todas las rejillas tienen máxima intensidad en ángulos θm que están dados por la ecuación de rejilla
d ( Sin θ m ± sin θ I ) = m λ ., {\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}\pm \sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda .}
donde
- θi es el ángulo en el que la luz es incidente,
- d es la separación de elementos de rejilla, y
- m es un entero que puede ser positivo o negativo.
la luz difractada por una rejilla se encuentra sumando la luz difractada de cada uno de los elementos, y es esencialmente una convolución de difracción y patrones de interferencia.,
la figura muestra la luz difractada por rejillas de 2 y 5 elementos donde los espaciamientos de la rejilla son los mismos; se puede ver que los máximos están en la misma posición, pero las estructuras detalladas de las intensidades son diferentes.
imagen generada por computadora de un disco de Airy.
generado por Ordenador, luz patrón de difracción de una abertura circular de diámetro de 0.5 micras a una longitud de onda de 0.6 micras (rojo) a una distancia de 0.1 cm – 1 cm en pasos de 0.1 cm., Uno puede ver la imagen moviéndose desde la región de Fresnel hacia la región de Fraunhofer donde se ve el patrón aireado.
apertura Circulareditar
la difracción de campo lejano de una onda plana incidente en una abertura circular se conoce a menudo como el disco Airy., La variación en la intensidad con el ángulo está dada por
I (θ) =i 0 ( 2 J 1 ( k A sin θ ) K A sin θ) 2 {\displaystyle i(\theta) = I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta)} {ka\sin \theta }}\right)^{2}} ,
donde a es el radio de la abertura circular, k es igual a 2π/λ y J1 es una función de Bessel. Cuanto menor sea la abertura, mayor será el tamaño del punto a una distancia dada, y mayor será la divergencia de los haces difractados.,
apertura generalEditar
la onda que emerge de una fuente puntual tiene amplitud ψ {\displaystyle \psi } en la ubicación r que está dada por la solución de la ecuación de onda de dominio de frecuencia para una fuente puntual (la ecuación de Helmholtz),
ψ + k 2 ψ = δ ( r ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi +K^{2}\psi =\delta (\mathbf {r})}
donde δ ( r ) {\displaystyle \Delta (\mathbf {r} )} es la función delta de 3 dimensiones. La función delta solo tiene dependencia radial, por lo que el operador de Laplace (a.k.a.,el sistema se simplifica a (ver del En coordenadas cilíndricas y esféricas)
ψ = 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( R ψ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial R^{2}}}(r\PSI)}
por sustitución directa, la solución a esta ecuación se puede demostrar fácilmente que es la función del verde escalar, que en el sistema de coordenadas esféricas (y utilizando la Convención de tiempo de la física e − i ω t {\displaystyle E^{-I\Omega t}} ) es:
ψ ( r ) = e i k r 4 π r {\displaystyle \PSI (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}}
Esta solución asume que la fuente de la función delta se encuentra en el origen.,athbf {r} ‘=x’\mathbf {\hat {x}} +y’\mathbf {\hat {y}} }
En el campo lejano, en el que los rayos paralelos aproximación puede ser empleado, la función de Green,
ψ ( r | r ‘) = e i k | r − r ‘| 4 π | r − r ‘ | {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ‘)={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} ‘|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} ‘|}}}
se simplifica a
ψ ( r | r ‘) = e i k r 4 π r e − i k ( r ‘ ⋅ r ^ ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ‘)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} ‘\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}
como puede verse en la figura a la derecha (click para agrandar)., {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }
la expresión para el campo de la región Fraunhofer desde una apertura plana ahora se convierte en,
Ψ ( r) π e i k r 4 π R a A P E R t U R E E I N c ( x ‘, y ‘) e − i k Sin θ ( cos x x ‘+ sin y y ‘) D x ‘D y’ {\displaystyle \psi (R)\propto {\frac {e^{IKr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {Aperture} }E_{\mathrm {Inc} }(X’,Y’)e^{-IK\sin \theta (\cos \phi X’+\sin \Phi y’)}\,dx’\,dy’}
letting,
k x = k Sin θ cos {{\displaystyle k_ {x}=k\sin \theta \cos \phi \,\!,}
Y
k y = K sin θ sin {{\displaystyle k_{y} = k \ sin \ theta \ sin \phi\,\!}
el campo de la región de Fraunhofer de la abertura plana asume la forma de una transformada de Fourier
Ψ ( r) i k r 4 π R a A P E R t u R E E i N c ( x ‘, y ‘) e − i ( k x x ‘+ k y y ‘) d x ‘d y’ , {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }e_{\mathrm {Inc} }(X’,Y’)E^{-I(k_{x}x’+k_{y}y’)}\,dx’\,dy’,}
en la región de campo lejano / Fraunhofer, esto se convierte en la transformada espacial de Fourier de la distribución de apertura., El principio de Huygens cuando se aplica a una abertura simplemente dice que el patrón de difracción de campo lejano es la transformada espacial de Fourier de la forma de abertura, y esto es un subproducto directo del uso de la aproximación de rayos paralelos, que es idéntico a hacer una descomposición de onda plana de los campos planos de abertura (véase óptica de Fourier).
propagación de un haz de lásereditar
la forma en que el perfil del haz de un rayo láser cambia a medida que se propaga está determinada por difracción., Cuando todo el haz emitido tiene un frente de onda plano y espacialmente coherente, se aproxima al perfil del haz gaussiano y tiene la divergencia más baja para un diámetro dado. Cuanto más pequeño sea el haz de salida, más rápido diverge. Es posible reducir la divergencia de un rayo láser expandiéndolo primero con una lente convexa, y luego colimándolo con una segunda lente convexa cuyo punto focal coincide con el de la primera lente. El haz resultante tiene un diámetro mayor, y por lo tanto una divergencia menor., La divergencia de un rayo láser puede reducirse por debajo de la difracción de un haz gaussiano o incluso invertirse a la convergencia si el índice de refracción de los medios de propagación aumenta con la intensidad de la luz. Esto puede resultar en un efecto de auto-enfoque.
Cuando el frente de onda del haz emitido tiene perturbaciones, solo la longitud de coherencia transversal (donde la perturbación del frente de onda es inferior a 1/4 de la longitud de onda) debe considerarse como un diámetro de haz gaussiano al determinar la divergencia del haz láser., Si la longitud de coherencia transversal en la dirección vertical es mayor que en horizontal, la divergencia del rayo láser será menor en la dirección vertical que en la horizontal.
difraction-limited imagingEdit
la capacidad de un sistema de imágenes para resolver detalles está limitada en última instancia por la difracción., Esto se debe a que una onda plana incidente en una lente circular o espejo se difracta como se describió anteriormente. La luz no está enfocada a un punto, sino que forma un disco Airy que tiene un punto central en el plano focal cuyo radio (medido hasta el primer nulo) es
Δ x = 1.22 λ n {\displaystyle \Delta x=1.22\lambda n}
donde λ es la longitud de onda de la luz y N es el número f (Longitud focal F dividida por el diámetro de apertura D) de la óptica de imagen; esto es estrictamente preciso para N 1 1 (caso paraxial). En el espacio objeto, la resolución angular correspondiente es
θ ≈ Sin θ = 1.,22 λ D, {\displaystyle \ theta \ approx \ sin \ theta =1.22{\frac {\lambda }{D}},\,}
donde D es el diámetro de la pupila de entrada de la lente de imagen (por ejemplo, del espejo principal de un telescopio).
dos fuentes puntuales producirán cada una un patrón aireado – vea la foto de una estrella binaria. A medida que las fuentes puntuales se acercan, los patrones comenzarán a superponerse y, en última instancia, se fusionarán para formar un único patrón, en cuyo caso las dos fuentes puntuales no se pueden resolver en la imagen., El criterio de Rayleigh especifica que dos fuentes puntuales se consideran «resueltas» si la separación de las dos imágenes es al menos el radio del disco Airy, es decir, si el primer mínimo de una coincide con el máximo de la otra.
por lo tanto, cuanto mayor es la apertura de la lente en comparación con la longitud de onda, más fina es la resolución de un sistema de imagen. Esta es una de las razones por las que los telescopios astronómicos requieren objetivos grandes, y por qué los objetivos del microscopio requieren una gran apertura numérica (gran diámetro de apertura en comparación con la distancia de trabajo) para obtener la resolución más alta posible.,
Patrones de Motaseditar
El patrón de motas que se ve cuando se usa un puntero láser es otro fenómeno de difracción. Es el resultado de la superposición de muchas ondas con diferentes fases, que se producen cuando un rayo láser ilumina una superficie rugosa. Se suman para dar una onda resultante cuya amplitud, y por lo tanto intensidad, varía aleatoriamente.,
principio de Babineteditar
El principio de Babinet es un teorema útil que establece que el patrón de difracción de un cuerpo opaco es idéntico al de un agujero del mismo tamaño y forma, pero con diferentes intensidades. Esto significa que las condiciones de interferencia de una sola obstrucción serían las mismas que las de una sola hendidura.
