Definición Homogénea de la Ecuación Diferencial
Una de primer orden de la ecuación diferencial
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se llama homogénea de la ecuación, si el lado derecho cumple la condición
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para todos \(t.,\ ) En otras palabras, el lado derecho es una función homogénea (con respecto a las variables \(x\) y \(y\)) del orden cero:
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también se puede escribir una ecuación diferencial homogénea en la forma
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o alternativamente, en la forma diferencial:
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donde \(p\left( {x,y} \right)\) y \(Q\left( {x,Y} \right)\) son funciones homogéneas del mismo grado.,
definición de función homogénea
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resolver ecuaciones diferenciales homogéneas
una ecuación homogénea se puede resolver por sustitución \(y = ux,\) que conduce a una ecuación diferencial separable.
Una ecuación diferencial de tipo
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se convierte en una ecuación separable moviendo el origen del sistema de coordenadas para el punto de intersección de las líneas rectas., Si estas rectas son paralelas, la ecuación diferencial se transforma en separables ecuaciones utilizando el cambio de variable:
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Problemas Resueltos
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ejemplo 1.
resuelve la ecuación diferencial \(\left ({2x + y} \right)dx\) \ (- xdy = 0.\)
solución.
Supongamos que \(y = ux,\) donde \(u\) es una nueva función de \(x.,\ ), A continuación,
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Sustituyendo esto en la ecuación diferencial, se obtiene
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por lo tanto,
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Dividir ambos lados por \(x\) se obtiene:
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Integrar la última expresión para obtener:
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donde \(C\) es una constante de integración.
Volver a los viejos variable \(y,\) podemos escribir:
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por Lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones:
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