Nota: La Convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos se utiliza a continuación.
materiales Isotrópicoseditar
los materiales isotrópicos se caracterizan por propiedades que son independientes de la dirección en el espacio. Por lo tanto, las ecuaciones físicas que involucran materiales isotrópicos deben ser independientes del sistema de coordenadas elegido para representarlos. El tensor de tensión es un tensor simétrico., Dado que la traza de cualquier tensor es independiente de cualquier sistema de coordenadas, la descomposición sin coordenadas más completa de un tensor simétrico es representarlo como la suma de un tensor constante y un tensor simétrico sin trazas. Así, en el índice de notación:
ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\derecho)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}
donde δij es la delta de Kronecker., En directo tensor de la notación:
ε = vol ( ε ) + dev ( ε ) ; vol ( ε ) = 1 3 tr ( ε ) I ; dev ( ε ) = ε − vol ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
donde I es el de segundo orden de la identidad del tensor.,
el primer término a la derecha es el tensor constante, también conocido como tensor de deformación volumétrica, y el segundo término es el tensor simétrico sin traza, también conocido como tensor de deformación desviatoria o tensor de corte.,>La forma más general de la Ley de Hooke para materiales isotrópicos ahora se puede escribir como una combinación lineal de estos dos tensores:
σ i j = 3 K ( 1 3 ε k k δ i j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) ; σ = 3 K vol ( ε ) + 2 G dev ( ε ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{IJ}\right)+2G\left(\varepsilon _{IJ}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{KK}\Delta _{IJ}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\Sigma }}=3k\operatorname {Vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
donde k es el módulo de masa y G es el módulo de cizallamiento.,
Usando las relaciones entre los módulos elásticos, estas ecuaciones también pueden expresarse de varias otras maneras.,en la forma de la Ley de Hooke para materiales isotrópicos, expresada en notación tensorial directa, es
σ = λ tr ( ε ) i + 2 μ ε = c : ε ; c = λ i I I + 2 μ i {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {i} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {C}}=\Lambda \mathbf {i} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {i}}}
donde λ = k − 2/3G = c1111 − 2c1212 y μ = g = c1212 son las constantes de lamé, i es el tensor de identidad de segundo rango, y I es la parte simétrica del tensor de identidad de cuarto rango.,j − ∑ i j ) ) ; e = 1 E ( σ − ν ( tr ( σ ) I − σ ) ) = 1 + ν E σ − ν E tr ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
Esta es la forma en que la tensión se expresa en términos del tensor de tensiones en la ingeniería.,1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2 G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2 G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2 G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}
donde E es el módulo de Young y ν es el coeficiente de Poisson., (Ver elasticidad 3-D).,div>0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
where γij = 2εij is the engineering shear strain.,>\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}
donde I es el tensor identidad.,
tensión Planeaeditar
en condiciones de tensión plana, S31 = S13 = S32 = S23 = S33 = 0.,n _{22}\derecho)\derecho)}
La relación inversa que se suele escribir en la forma reducida
= 1 E {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
Plano strainEdit
Bajo el plano de las condiciones de tensión, ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0.,begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
Anisotrópico materialsEdit
La simetría del tensor de tensiones de Cauchy (σij = σji) y la generalizada de Hooke leyes (σij = cijklekl) implica que cijkl = cjikl., De manera similar, la simetría del tensor de deformación infinitesimal implica que cijkl = cijlk. Estas simetrías se denominan simetrías menores del tensor de rigidez C. Esto reduce el número de constantes elásticas de 81 a 36.
si además, dado que el gradiente de desplazamiento y la tensión de Cauchy son conjugados de trabajo, la relación tensión–deformación puede derivarse de una densidad de energía de deformación funcional (U), entonces
σ i j = ∂ U ∂ ε i j c c i j k l = ∂ 2 u ∂ ε i j ∂ ε k l ., {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implica \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}
la arbitrariedad del orden de diferenciación implica que cijkl = cklij. Estas se llaman las simetrías principales del tensor de rigidez. Esto reduce el número de constantes elásticas de 36 a 21. Las simetrías mayor y menor indican que el tensor de rigidez tiene solo 21 componentes independientes.,
representación matricial (tensor de rigidez)editar
a menudo es útil expresar la forma anisotrópica de la Ley de Hooke en notación matricial, también llamada Notación Voigt.,>C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}
and Hooke’s law is written as
= or σ i = C i j ε j ., {\displaystyle = \ qquad {\text{or}}\qquad \ sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.,v>s_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}
cambio del sistema de coordinadaseditar
Si un material elástico lineal se gira de una configuración de referencia a otra, entonces el material es simétrico con respecto a la rotación si los componentes del tensor de rigidez en la configuración rotada está relacionada con los componentes en la configuración de referencia por la relación
C P Q R S = L P I L Q J L R K L S L C i j k l {\displaystyle C_{PQRS}=l_{pi}L_{QJ}l_{RK}l_{SL}C_{ijkl}}
donde Lab son los componentes de una matriz de rotación ortogonal ., La misma relación también se aplica a las inversiones.
en notación matricial, si la base transformada (rotada o invertida) está relacionada con la base de referencia por
= {\displaystyle =}
entonces
c i j ε I ε j = c i j ‘ε i’ ε j ‘ . {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}’\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j}\,.}
Además, si el material es simétrico con respecto a la transformación entonces
c i j = c i j ‘C C i j ( ε I ε j − ε i ‘ε j’ ) = 0 ., {\displaystyle C_{ij}=C’_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon ‘_{i}\varepsilon ‘_{j})=0\,.}
Orthotropic materialsEdit
Orthotropic materials have three orthogonal planes of symmetry.,>{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{g_{XY}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Sigma _{XX}\\\Sigma _{YY}\\\Sigma _{ZZ}\\\Sigma _{ZX}\\\Sigma _{XY}\end{bmatrix}}}
donde
EI es el módulo de Young a lo largo del eje I Gij es el módulo de corte en dirección J en el plano cuya normal está en dirección i vij es la relación de poisson que corresponde a una contracción en dirección J cuando se aplica una extensión en dirección I.,
bajo condiciones de tensión plana, σzz = σzx = σyz = 0, La Ley de Hooke para un material ortotrópico toma la forma
=., {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
The inverse relation is
= 1 1 − ν x y ν y x ., {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
The transposed form of the above stiffness matrix is also often used.,
materiales transversalmente isótroposeditar
un material transversalmente isótropo es simétrico con respecto a una rotación sobre un eje de simetría.,d=»83bec78907″>0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
Universal elastic anisotropy indexEdit
To grasp the degree of anisotropy of any class, a universal elastic anisotropy index (AU) was formulated., Reemplaza la relación Zener, que es adecuada para cristales cúbicos.
