el término fundamentos se utiliza para referirse a la formulación y análisis del lenguaje, axiomas y métodos lógicos sobre los que descansa toda la matemática (véase lógica; lógica simbólica). El alcance y la complejidad de las matemáticas modernas requiere un análisis muy fino del lenguaje formal en el que se pueden formular declaraciones matemáticas significativas y tal vez se demuestre que son verdaderas o falsas. Se ha demostrado que la mayoría de las contradicciones matemáticas aparentes derivan de un uso impreciso e inconsistente del lenguaje., Una tarea básica es proporcionar un conjunto de axiomas efectivamente libre de contradicciones y al mismo tiempo lo suficientemente rico como para constituir una fuente deductiva para todas las matemáticas modernas. Los esquemas de axiomas modernos propuestos para este propósito están formulados dentro de la teoría de conjuntos, originada por Georg Cantor, que ahora constituye un lenguaje matemático universal.
históricamente, el álgebra es el estudio de soluciones de una o varias ecuaciones algebraicas, que involucran las funciones polinómicas de una o varias variables., El caso donde todos los polinomios tienen grado uno (sistemas de ecuaciones lineales) conduce al álgebra lineal. El caso de una sola ecuación, en la que uno estudia las raíces de un polinomio, conduce a la teoría de campos y a la llamada teoría de Galois. El caso general de varias ecuaciones de alto grado conduce a la geometría algebraica, llamada así porque los conjuntos de soluciones de tales sistemas son a menudo estudiados por métodos geométricos.,
Los algebraistas modernos han abstraído y axiomatizado cada vez más las estructuras y patrones de argumento encontrados no solo en la teoría de ecuaciones, sino en las matemáticas en general. Ejemplos de estas estructuras incluyen grupos (primero presenciado en relación con las propiedades de simetría de las raíces de un polinomio y ahora omnipresente en las matemáticas), anillos (de los cuales los enteros, o números enteros, constituyen un ejemplo básico), y campos (de los cuales los números racionales, reales y complejos son ejemplos)., Algunos de los conceptos del álgebra moderna han encontrado su camino en la educación matemática elemental en la llamada nueva matemática.
algunas abstracciones importantes introducidas recientemente en álgebra son las nociones de categoría y funtor, que surgió de la llamada álgebra homológica. La aritmética y la teoría de números, que se ocupan de propiedades especiales de los enteros—por ejemplo, factorización única, primos, ecuaciones con coeficientes enteros (ecuaciones diofánticas), y congruencias—también son parte del álgebra., La teoría analítica de números, sin embargo, también aplica los métodos no algebraicos de análisis a tales problemas.
el ingrediente esencial del análisis es el uso de procesos infinitos, que implican el paso a un límite. Por ejemplo, el área de un círculo puede calcularse como el valor límite de las áreas de polígonos regulares inscritos a medida que el número de lados de los polígonos aumenta indefinidamente. La rama básica del análisis es el cálculo. El problema general de medir longitudes, áreas, volúmenes y otras cantidades como límites mediante la aproximación de figuras poligonales conduce al cálculo integral., El cálculo diferencial surge de manera similar del problema de encontrar la recta tangente a una curva en un punto. Otras ramas del análisis resultan de la aplicación de los conceptos y Métodos del cálculo a diversas entidades matemáticas. Por ejemplo, el análisis vectorial es el cálculo de funciones cuyas variables son vectores. Aquí se pueden introducir varios tipos de derivadas e integrales. Conducen, entre otras cosas, a la teoría de ecuaciones diferenciales e integrales, en la que las incógnitas son funciones en lugar de números, como en las ecuaciones algebraicas., Las ecuaciones diferenciales son a menudo la forma más natural de expresar las leyes que rigen el comportamiento de varios sistemas físicos. El cálculo es una de las herramientas más potentes y flexibles de las matemáticas. Sus aplicaciones, tanto en matemáticas puras como en prácticamente todos los dominios científicos, son múltiples.
la forma, el tamaño y otras propiedades de las figuras y la naturaleza del espacio están en la provincia de la geometría., La geometría euclidiana se ocupa del estudio axiomático de polígonos, secciones cónicas, esferas, poliedros y objetos geométricos relacionados en dos y tres dimensiones, en particular, con las relaciones de congruencia y similitud entre dichos objetos. El intento fallido de probar el postulado paralelo de los otros axiomas de Euclides llevó en el siglo 19. al descubrimiento de dos tipos diferentes de geometría no euclidiana.
El Centavo 20., ha visto un enorme desarrollo de la topología, que es el estudio de objetos geométricos muy generales, llamados espacios topológicos, con respecto a relaciones que son mucho más débiles que la congruencia y la similitud. Otras ramas de la geometría incluyen la geometría algebraica y la geometría diferencial, en la que los métodos de análisis se aplican a los problemas geométricos. Estos campos se encuentran ahora en un vigoroso estado de desarrollo.
el término Matemáticas Aplicadas designa vagamente una amplia gama de estudios con un uso actual significativo en las ciencias empíricas., Incluye métodos numéricos y Ciencias de la computación, que busca soluciones concretas, a veces aproximadas, a problemas matemáticos explícitos (por ejemplo, ecuaciones diferenciales, grandes sistemas de ecuaciones lineales). Tiene un uso importante en la tecnología para el modelado y la simulación. Por ejemplo, los enormes túneles de viento, utilizados anteriormente para probar costosos prototipos de aviones, casi han desaparecido. Todo el proceso de diseño y prueba ahora se lleva a cabo en gran medida por simulación por computadora, utilizando software matemáticamente adaptado., También incluye la física matemática, que ahora interactúa fuertemente con todas las áreas centrales de las matemáticas. Además, la teoría de la probabilidad y la estadística matemática a menudo se consideran partes de las matemáticas aplicadas. La distinción entre matemáticas puras y aplicadas es cada vez menos significativa.
- Introducción
- Ramas de las Matemáticas
- Desarrollo de las Matemáticas
- Bibliografía
